연속다변량분포

1. 들어가며 Introduction

지난 40여 년 동안 연속다변량분포(continuous multivariate distributions)의 이론·방법·응용에 관한 연구가 폭발적으로 이루어졌다. 초기 연구는 주로 다변량 정규분포에 집중되었으나, 그 이후에는 정규가 아닌(nonnormal) 분포에 대해서도 많은 진전이 있었다. 강력한 컴퓨터와 정교한 소프트웨어가 보급되면서, 실제 자료에 연속다변량분포를 적합(fitting)하고 모수에 대한 효율적인 추론 절차를 개발하는 일이 한결 수월해졌다. 이 글에서는 연속다변량분포 분야의 주요 발전을 간결하게 개관한다.

2. 정의와 기호 Definitions and Notations

k차원 연속확률벡터를 X = (X₁, …, X_k)^T로, 그 확률밀도함수(pdf)를 p_X(x)로 나타낸다. 누적분포함수(cdf)는 다음과 같이 정의된다.

X의 적률생성함수(mgf), 누율생성함수(cgf), 특성함수는 각각 다음과 같다.

여기서 r차 혼합 적률은 mgf(또는 cgf)의 멱급수 전개에서 해당 항의 계수로 얻어진다. 두 성분 사이의 공분산과 상관계수는 다음과 같다.

이항전개를 이용하면 원적률(raw moment)과 중심적률(central moment) 사이, 그리고 적률과 누율 사이의 여러 변환 관계식을 얻을 수 있다. Smith [188]와 [32]는 계산에 편리한 점화식들을 제시하였는데, 이를 이용하면 한 종류의 적률(또는 누율) 집합에서 다른 집합을 구할 수 있다.

3. 이변량·삼변량 정규분포 Bivariate and Trivariate Normal Distributions

앞서 말했듯 초기 연구는 이변량·다변량 정규분포에 집중되었다. X = (X₁, X₂)^T의 이변량 정규(bivariate normal) pdf는 다음과 같다.

이 분포는 이변량 가우스(Gaussian), 라플라스–가우스, 또는 브라베(Bravais) 분포라고도 불린다. 여기서 E(X_j) = ξ_j, Var(X_j) = σ_j², Corr(X₁, X₂) = ρ 이다. 특히 ξ₁ = ξ₂ = 0, σ₁ = σ₂ = 1인 경우 표준 이변량 정규밀도가 된다.

ρ = 0이고 σ₁ = σ₂이면 두 변수는 독립인 원형(circular) 정규가 되고, ρ = 0이지만 σ₁ ≠ σ₂이면 타원(elliptical) 정규밀도가 된다. 삼변량 정규의 경우에도 표준밀도, 적률, 직교확률(orthant probability)에 대한 근사식과 표가 폭넓게 연구되었다. 절단형(truncated form), 순서통계량, 특성화(characterization) 등도 함께 다루어졌다.

4. 다변량 정규분포 Multivariate Normal Distributions

다변량 정규분포는 이변량 정규의 자연스러운 일반화다. Z₁, …, Z_k가 독립인 표준정규일 때, 선형변환 X = HZ + ξ (|H| ≠ 0)로 얻어지며, 다항분포의 극한형이기도 하다. 확률벡터 X의 pdf가 다음과 같으면 다변량 정규분포를 따른다고 한다.

이때 평균벡터와 분산–공분산 행렬은 다음과 같고, V는 양정치(positive definite) 행렬로 가정한다.

만약 V가 양반정치(positive semidefinite)이면 특이(singular) 다변량 정규분포라 한다. Rao가 보였듯 이 분포는 주어진 분산–공분산 행렬을 갖는 k차원 벡터 중 엔트로피가 최대인 분포다.

조건부·주변분포의 닫힘성: 다변량 정규벡터를 부분벡터로 나누면, 각 부분벡터의 주변분포도 다변량 정규이고, 한 부분벡터를 다른 부분벡터로 조건화한 조건부분포 역시 다변량 정규이다. 게다가 X⁽¹⁾을 X⁽²⁾에 대해 회귀하면 그 회귀는 선형이고 등분산적(homoscedastic)이다.

차원 k가 커지면 다변량 정규 적분의 수치계산이 매우 까다로워진다. Schervish의 MULNOR, Dunnett의 MVNPRD, Genz 등 여러 알고리즘이 직교확률과 일반적분의 계산을 위해 제안되었다. 특성화로는 "모든 선형결합 Σa_jX_j가 정규일 때만 X가 다변량 정규"라는 Fréchet의 결과를 비롯해 여러 결과가 알려져 있다.

관련 분포. 정규를 변형·혼합하면 많은 분포가 파생된다. log Y = X가 정규이면 Y는 다변량 로그정규(log-normal)를 따르고, 그 r차 원적률은

로 간단히 구해진다. 그 밖에 다변량 K-분포, 일반화 쌍곡(hyperbolic)분포, 다변량 비대칭정규(skew-normal), 다변량 일반화 라플라스 분포 등이 정규의 혼합·왜곡으로 유도된다. 또한 성분이 복소수인 경우 복소 다변량 정규분포를 정의할 수 있다.

5. 다변량 t 분포와 다변량 로지스틱 Multivariate t and Logistic Distributions

Z₁, …, Z_k가 독립 표준정규이고, W가 이와 독립인 자유도 ν의 카이제곱 확률변수일 때, 다음으로 정의되는 벡터 X = (X₁, …, X_k)는 다변량 t(또는 Student) 분포를 따른다.

다변량 t는 정규보다 꼬리가 두꺼워(heavy-tailed) 극단값이 더 자주 나오는 자료, 그리고 베이즈 추론에서 자주 쓰인다. 그 성질과 응용, 확률적분표가 폭넓게 연구되어 있다.

다변량 로지스틱(logistic): Malik과 Abraham은 cdf가 1/(1 + Σe^{−(x_i−μ_i)/σ_i}) 형태인 직접 일반화를 제시하였다(Gumbel–Malik–Abraham형). 이 분포의 주변분포는 모두 일변량 로지스틱이지만, 조건부밀도와 회귀는 비선형이 된다. 그 밖에 혼합형·기하 최소최대형·Farlie–Gumbel–Morgenstern형 등 여러 변형이 존재한다.

6. 디리클레·역디리클레·리우빌 분포 Dirichlet, Inverted Dirichlet, and Liouville Distributions

표준 디리클레(Dirichlet) 분포는 디리클레가 평가한 다중적분에 기초하며, pdf는 다음과 같다.

여기서 0 ≤ x_j, Σx_j ≤ 1 이다. 이 분포는 단체(simplex) 위의 분포로, 모든 짝의 상관이 음(−)이라는 점에서 다항분포와 닮았고, 그래서 흔히 다항분포의 근사나 베이즈 분석의 사전분포(prior)로 쓰인다. 주변분포와 조건부분포가 다시 디리클레로 닫혀 있다. Connor–Mosimann의 일반화 디리클레, Ma의 재척도화 디리클레 등 확장형도 있다.

역디리클레(inverted Dirichlet)는 지지집합이 양의 영역으로 옮겨진 분포로, Y_j/Y₀ (Y들은 독립 카이제곱) 꼴의 결합분포로 나타난다.

리우빌(Liouville) 분포: 디리클레 적분의 일반화로 정의되며, pdf가 다음에 비례하면 다변량 리우빌 분포라 한다.

지지집합이 비유계(noncompact)이면 제1종, 유계(compact)이면 제2종 리우빌 분포라 한다. X = RY (R = ΣX_i는 일변량 리우빌, Y는 R과 독립인 디리클레)라는 확률표현이 있어, 디리클레의 여러 성질이 리우빌로 이어진다. f를 적절히 택하면 제2종은 디리클레, 제1종은 역디리클레가 된다.

7. 다변량 지수·감마·바이불 분포 Multivariate Exponential, Gamma and Weibull Distributions

일변량에서 지수분포가 차지하는 중요한 역할처럼, 이변량·다변량 지수분포도 신뢰성·생존분석에서 큰 관심을 받았다. 대표적으로 Marshall–Olkin 모형은 다음 결합 생존함수를 갖는다.

이 모형은 여러 부품에 공통 충격(shock)이 동시에 가해지는 치명적 충격(fatal shock) 모형에서 유도되며, 생존함수에 절댓값 연속이 아닌 특이부분이 있어 "무기억성(memoryless)"의 다변량 일반화 성질을 가진다. 그 밖에 Freund–Weinman, Block–Basu, Moran–Downton, Raftery 등 여러 모형이 있다.

다변량 바이불(Weibull): 다변량 지수의 성분을 멱변환하면 자연스럽게 얻어진다. 다변량 감마(gamma): Cheriyan–Ramabhadran 모형(독립 감마들의 합으로 구성), Gaver, Dussauchoy–Berland, Mathai–Moschopoulos, Prékopa–Szántai, Royen 등 다양한 구성법이 제안되었다. 예컨대 표준 다변량 감마는 독립 감마변수 Y₀, Y_i를 이용해 X_i = Y₀ + Y_i 꼴로 만들며, 이때 X_i의 주변분포는 감마이고 공통항 Y₀ 때문에 성분들이 양의 상관을 갖는다.

8. 다변량 극단값·파레토 분포 Multivariate Extreme-Value and Pareto Distributions

지난 25년간 이변량·다변량 극단값(extreme value) 분포 연구가 활발했다. 고전적 다변량 극단값분포는 여러 종속 모집단에서 성분별 최댓값을 정규화한 것의 점근분포로 나타난다. M_nj = max(Y_1j, …, Y_nj)라 할 때, 적절한 상수열이 있어 다음 극한이 존재하면 G가 다변량 극단값분포다.

Tawn, Smith, Joe 등은 종속을 측정하는 모수(예: 0 ≤ α ≤ 1, α=1은 독립, α=0은 완전종속)를 포함한 다양한 모형과 그 추론을 다루었다.

다변량 파레토(Pareto): Mardia가 제안한 제1종 다변량 파레토는 다음 pdf를 갖는다.

여기서 x_i > θ_i > 0, a > 0 이다. X의 임의의 부분집합도 같은 형태의 밀도를 가지므로 주변분포가 다시 제1종 파레토이고, 조건부분포도 같은 꼴을 유지한다. 그 밖에 제2·제3·제4종 파레토, Marshall–Olkin형, 준파레토(semi-Pareto), 조건부 지정형 등이 있으며, 파레토 분포는 꼬리가 두꺼워 대형 손해·재보험 모형에서 특히 유용하다.

9. 타원형(구면대칭) 분포와 추론 Elliptically Contoured Distributions and Inference

다변량 정규·t·로지스틱 등 많은 분포는 타원형(elliptically contoured) 분포라는 큰 틀로 묶인다. 밀도의 등고선이 (x−ξ)^TV⁻¹(x−ξ)가 일정한 타원면이 되는 분포로, pdf가 다음 꼴이다.

여기서 g는 적당한 발생함수(generator)이고 c_k는 정규화상수다. g(u) = e^−u/2이면 정규, 거듭제곱꼴이면 다변량 t·파워지수 등이 나온다. 타원형 분포는 정규의 여러 좋은 성질(선형결합·주변·조건부의 닫힘성 등)을 상당 부분 물려받으면서도 꼬리 두께를 자유롭게 조절할 수 있어, 금융 위험관리와 포트폴리오 이론에서 정규의 대안으로 널리 쓰인다.

추론(inference). X₁, …, X_n이 다변량 정규 모집단에서 뽑은 확률표본이면, ξ와 V의 최대가능도추정량은 각각 표본평균벡터 X̄와 표본 분산–공분산행렬 S이며, 이 둘은 서로 독립이다. 재생성(reproductive) 성질에 의해 X̄는 평균 ξ, 공분산 V/n인 다변량 정규를 따르고, nS = Σ(X_i−X̄)(X_i−X̄)^T는 위샤트(Wishart) 분포 W(n−1; V)를 따른다. 비정규 다변량 모형들에 대해서도 많은 모수에 대한 추정·검정 절차가 개발되어 있다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 확률밀도함수 (pdf) — 연속확률벡터의 분포를 나타내는 함수. 영역에서 적분하면 그 영역에 들어갈 확률이 된다.
• 분산–공분산 행렬 (V) — 대각에 각 성분의 분산, 비대각에 성분 간 공분산을 담은 행렬. 의존구조의 핵심 요약.
• 양정치 행렬 (positive definite) — 임의의 0 아닌 벡터 a에 대해 a^TVa > 0인 행렬. 공분산행렬이 가져야 할 성질.
• 적률생성함수 (mgf) — E(e^tTX). 미분하여 적률을 얻고, 분포를 유일하게 결정한다.
• 주변분포·조건부분포 (marginal / conditional) — 일부 성분만 본 분포, 그리고 다른 성분을 고정했을 때의 분포.
• 상관계수 ρ (correlation) — 두 변수의 선형적 함께 움직임을 −1~1로 나타낸 척도. 정규에서는 ρ=0이 독립과 같다.
• 단체 (simplex) — 성분이 모두 0 이상이고 합이 1 이하인 영역. 디리클레 분포의 지지집합.
• 무기억성 (memoryless) — "이미 t만큼 살아남았다는 사실이 이후를 바꾸지 않는다"는 지수분포 고유의 성질.
• 타원형 분포 (elliptically contoured) — 밀도 등고선이 타원면인 분포족. 정규·t 등을 포함하며 꼬리 조절이 자유롭다.
• 위샤트 분포 (Wishart) — 다변량 정규 표본의 (표본)공분산행렬이 따르는 분포. 카이제곱의 행렬 일반화.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

연속다변량분포는 한국 계리 실무에서 주로 코퓰러(copula) 모형을 통해 간접적으로 활용된다. K-ICS 집합적 리스크 모듈에서 생명·건강·손해 리스크 간 상관계수가 주어지고, 이 선형 상관 구조는 다변량 정규 코퓰러를 암묵적으로 가정한다. 꼬리 의존성(tail dependence)이 핵심인 대재해(Cat) 리스크나 금융위기 시나리오에서는 가우시안 코퓰러가 꼬리 의존성을 과소평가한다는 비판이 있으며, 이에 따라 t-코퓰러·클레이튼 코퓰러를 사용하는 사례도 늘고 있다.

건강보험·실손보험 요율 산정에서는 진단비·입원비·수술비의 결합 분포가 중요하다. 5세대 실손(2026.5, 비중증 비급여 자기부담 50%·한도 1천만) 도입 이후, 비중증·중증 청구의 이변량 분포를 추정해 자기부담 하에서의 기대손해액을 산출하는 작업이 요율 개발에서 핵심이 됐다. 이 과정에서 이변량 감마·로그정규 혼합, 코퓰러 연결 주변분포가 실용적 대안으로 검토된다.

IFRS17 시나리오 생성에서도 다변량 구조가 필수다. 금리·사망률·해지율이 동시에 변동하는 복합 시나리오는 다변량 분포로 특정해야 하며, 특히 금리 하락이 해지율 하락(금리 민감형 계약에서)과 동시 발생하는 음의 상관이 있다면 이를 무시한 단순 충격 합산은 보수성이 부족하거나 과도할 수 있다.