예측

1. 예측이란 무엇인가 Introduction

요율 산정(rate making)과 손해 준비금 적립(loss reserving)은 모두 미래의 클레임 지급액을 예측(prediction)해야 한다. 예측이 가능한 한, 미래 지급액의 예측은 과거의 클레임 경험과, 미래 지급액이 과거 지급액에 어떻게 의존하는지를 기술하는 가정에 기반한다.

수학적으로는 모든 지급액을 확률변수로 기술하고, 이 확률변수들 사이의 의존성을 그들의 결합 확률분포에 대한 가정으로 모형화하는 것이 편리하다. 과거를 기술하는 확률변수는 관측 가능하다고 가정하며, 이것이 미래를 기술하는 확률변수를 예측하기 위한 통계적 기반을 이룬다.

이 통계적 기반은 여러 방식으로 예측량(predictor)을 구성하는 데 쓰일 수 있다. 따라서 어떤 예측량을 쓸지 고르는 기준이 필요하다. 핵심 기준은 적절한 품질 척도로 예측량들을 비교하는 것인데, 이 척도는 자연이 주는 것이 아니라 계리사가 선택해야 한다. 또한 예측량이 가져야 할 성질을 요구하여 미리 후보를 추려낼 수도 있다. 그러한 성질 중 하나가 불편성(unbiasedness)으로, 이는 계리의 수지상등 원칙을 수학적으로 표현한 것으로 이해할 수 있다.

결국 예측의 기본 아이디어는 추정(estimation)과 매우 비슷하지만 목표 대상의 종류가 다르다. 추정은 확률분포의 알려지지 않은 모수를 겨냥하는 반면, 예측은 관측 불가능한 확률변수를 겨냥한다.

2. 문제의 설정 Formalization

이 아이디어를 형식화하기 위해, 관측 가능한 부분벡터 X₁과 관측 불가능한 부분벡터 X₂로 이루어진 확률벡터를 생각한다.

이 벡터의 기댓값은 (μ₁, μ₂)이고, 분산(공분산행렬)은 블록 Σ₁₁, Σ₁₂, Σ₂₁, Σ₂₂로 분할된다. 여기서 Σ₁₁과 Σ₂₁은 알려져 있고 Σ₁₁은 가역(역행렬이 존재)이라고 가정한다.

X₂의 예측량(predictor)이란 X₁의 함수이면서 X₂와 차원이 같은 확률벡터 𝑋̂₂를 말한다. 예측량은 다음과 같이 분류한다.

• 아핀–선형(affine–linear): 어떤 벡터 q와 행렬 Q에 대해 𝑋̂₂ = q + QX₁;
• 선형(linear): 어떤 행렬 Q에 대해 𝑋̂₂ = QX₁;
• 불편(unbiased): E[𝑋̂₂] = E[X₂]를 만족.

3. 예측오차와 MSEP Prediction Error & MSEP

예측량 𝑋̂₂에 대해 차이 𝑋̂₂ − X₂를 예측오차(prediction error)라 하고, 다음 실수를 기대제곱예측오차(MSEP, expected squared prediction error)라 한다.

예측량들의 모임 𝒫에 대해, 𝒫 안의 모든 예측량 중 MSEP를 최소화하는 예측량을 𝒫 안의 최선예측량(best predictor)이라 한다. MSEP는 다음과 같이 분해된다.

이 항등식은, MSEP를 최소화하는 것이 예측오차의 (트레이스) 분산을 최소화하는 것과 같지 않음을 보여 준다. 다만 고려하는 모든 예측량이 불편(편의 항이 0)인 경우에는 둘이 일치한다.

4. 최선예측: 조건부 기댓값 Best Prediction

𝒫가 X₂의 모든 예측량으로 이루어진 경우를 보자. X₁이 주어졌을 때 X₂의 조건부 기댓값 E(X₂|X₁)은 X₂의 불편 예측량이다. 위 MSEP 분해를 이용하면 다음 정리가 즉시 얻어진다.

정리 1. 조건부 기댓값 E(X₂|X₁)은 X₂의 모든 예측량 가운데 유일한 최선예측량이다. 또한 이는 X₂의 불편 예측량이다.

이론적으로는 더할 나위 없이 만족스러운 결과다. 그러나 실무적으로는 심각한 단점이 있다. E(X₂|X₁) = h(X₁)을 만족하는 변환 h의 형태가 X의 전체 확률분포에 의존한다는 것이다. 특히 E(X₂|X₁)은 X₂의 선형 또는 아핀–선형 예측량이 아닐 수도 있다.

5. 최선 아핀–선형 예측과 신뢰도 Best Affine–Linear Prediction

분포 전체를 알 필요가 없도록, 예측량을 아핀–선형 형태로 제한해 보자. μ₁, μ₂를 안다고 가정할 때, 각 Q에 대해 편의 항을 0으로 만드는 q가 존재하므로, 먼저 분산 항을 최소화하도록 Q를 고른 뒤 편의를 없애도록 q를 정하면 된다. 그 결과 Q = Σ₂₁Σ₁₁⁻¹, q = μ₂ − Σ₂₁Σ₁₁⁻¹μ₁이 얻어진다.

정리 2. 위 예측량 X**는 X₂의 모든 아핀–선형 예측량 가운데 유일한 최선예측량이며, 불편이다. 이를 X₂의 신뢰도 예측량(credibility predictor)이라 부른다.

X₂가 1차원이고 X의 각 좌표 기댓값이 모두 μ로 같은 경우, 신뢰도 예측량은 기댓값 μ와 X₁ 좌표들의 가중평균으로 쓸 수 있다.

6. 기댓값을 알 때의 최선 선형 예측 Best Linear Prediction

신뢰도 예측량은 가산 상수 μ₂ − Σ₂₁Σ₁₁⁻¹μ₁을 통해 X₁·X₂의 기댓값에 의존한다. 더 작은 부류인 선형 예측량만 보면 이 모수에 의존하지 않는 최선예측량을 찾을 수 있을까? 정리 3은 그것이 μ₂ = Σ₂₁Σ₁₁⁻¹μ₁이거나 μ₁ = 0일 때에만 가능함을 보여 준다. 따라서 일반적으로는 선형 예측량으로 제한해도 기댓값 정보를 완전히 떨쳐낼 수 없다.

7. 선형모형에서의 최선 불편 선형 예측 Best Unbiased Linear Prediction

선형 예측량 QX₁이 불편일 필요충분조건은 Qμ₁ = μ₂이다(따라서 μ₁ = 0, μ₂ ≠ 0이면 불편 선형 예측량은 존재하지 않는다). 이제 확률벡터 X가 알려진 행렬 A₁, A₂와 미지 모수 β로 선형모형 E[X₁] = A₁β, E[X₂] = A₂β를 만족한다고 하자. β가 완전히 미지일 때는 이를 가우스–마르코프(Gauss–Markov) 추정량으로 대체하는 것이 자연스럽다.

이를 넣은 예측량이 가우스–마르코프 예측량이다.

정리 5. β가 미지일 때, 가우스–마르코프 예측량은 X₂의 모든 불편 선형 예측량 가운데 유일한 최선예측량이다. 1차원의 경우 이 예측량은 골드버거(Goldberger)에게서 비롯되었으며, 일반적인 경우는 후속 문헌에서 다루어졌다.

8. 확장과 특수한 경우들 Extensions & Special Cases

모든 결과는 선형변환 DX₂의 예측으로 확장된다. 각 부류에서 “X₂의 선형변환의 최선예측 = 최선예측의 선형변환”이 성립하므로, 특히 X₂의 한 좌표에 대한 최선예측은 좌표별로 따로 구할 수 있다.

또한 Σ₁₁이 특이(비가역)하면 X₁의 차원을 줄여 가역으로 만들 수 있고, 분산이 완전히 알려지지 않고 Var[X] = σ²W(W 알려짐)인 경우에도 Σ 자리에 W의 블록을 넣으면 최선 아핀–선형·불편 선형 예측량 공식이 그대로 성립하여 σ²에 의존하지 않는다.

특히 X₁과 X₂가 무상관이면 최선 아핀–선형 예측량은 단순히 μ₂가 되어 분산에 의존하지 않는다(독립이면 최선예측량 자체가 μ₂). 즉 과거가 미래에 대해 아무 정보를 주지 못하면, 최선예측은 그냥 평균이다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 예측량 (predictor) — 관측값 X₁의 함수로 미래 X₂를 맞히는 확률변수.
• 최선예측량 (best predictor) — 정해진 부류 안에서 MSEP를 최소화하는 예측량.
• MSEP (기대제곱예측오차) — 예측오차의 제곱의 기댓값. 예측 품질의 핵심 척도.
• 조건부 기댓값 (conditional expectation) — E(X₂|X₁). 제한 없는 부류에서의 최선예측량.
• 아핀–선형·선형 예측량 — q+QX₁ 또는 QX₁ 형태로 제한한 예측량.
• 불편성 (unbiasedness) — 평균적으로 빗나가지 않는 성질. 수지상등 원칙의 수학적 표현.
• 신뢰도 예측량 (credibility predictor) — 전체 평균과 개별 경험의 가중평균인 최선 아핀–선형 예측량.
• 가우스–마르코프 예측량 — 선형모형에서 β를 GLS로 추정해 만든 최선 불편 선형 예측량.
• 선형모형 (linear model) — 기댓값이 Aβ 형태인 모형. 회귀·준비금 모형의 토대.
• 공분산행렬 (Σ) — 변수들의 분산·공분산을 모은 행렬. 예측량 가중치를 결정.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

예측, 특히 손해준비금 예측은 한국 손해보험 계리 실무의 핵심이다. 진전삼각형(development triangle)에 체인래더(chain-ladder)를 적용해 최종 손해를 예측하는 방법은 자동차·일반·장기 손해보험의 준비금 산출에 여전히 표준으로 사용된다. IFRS17 하에서 최선추정부채(BEL) = 미지급 사고 발생 기준 지급준비금 + 발생손해준비금으로 재정의됐고, 이에 따라 진전삼각형의 정확성이 IFRS17 손익에 직결된다.

K-ICS 준비금리스크 요구자본은 준비금 추정의 변동성에 비례한다. 국내 손보사는 Mack 방법과 ODP 부트스트랩을 병행해 준비금 분포의 평균과 분산을 추정하고, 75~99.5% 분위수를 산출한다. 자동차보험처럼 보험금 청구 빈도·강도가 경기와 의료비 상승에 연동되는 경우, 진전 패턴이 연도별로 변동하므로 볼륨 가중·칼렌더 연도 조정이 필요하다. 이처럼 예측은 단순 외삽이 아니라 제도 변화·의료 인플레를 반영한 보정 과정이다.

글로벌 재보험(코리안리 등 국내·외국계 재보험사)에서도 진전삼각형 예측이 체결 조건 협상의 핵심 근거가 된다. 분기 결산 시 재보험사에 보고하는 최종 손해 추정치(IELR·BCL 등)가 슬라이딩 커미션·손익 분담 조건에 영향을 미치므로, 예측의 정확도와 방법론의 일관성이 재보험 갱신(1.1 갱신 관행) 협상에서 직접 평가된다.