와링 정리
1. 와링 정리 Waring's Theorem
와링 정리(Waring's theorem)는 n개의 가능한 사건 가운데 정확히 r개가 일어날 확률을 준다. 사건들을 A1, A2, …, An이라 하고 이 확률을 P[r]로 적으면, 구하는 확률은 다음과 같다(아래 좌변 P[r] = "정확히 r개").
여기서 Sk는 사건 확률들의 대칭합(이항적률, binomial moment)으로, 다음과 같이 정의된다.
즉 Sk는 n개 사건 중 k개를 고르는 모든 방법에 대해 그 k개 사건의 교집합 확률을 더한 값이다. S0=1로 둔다.
Sk는 "k개의 사건이 (적어도) 동시에 일어날 모든 조합의 확률 합"이다. 예컨대 S1은 각 사건이 일어날 확률을 다 더한 것, S2는 두 사건이 동시에 일어날 확률을 모든 쌍에 대해 더한 것이다. 이 Sk들만 알면, 와링 정리로 "정확히 r개"가 일어날 확률을 정확히 계산할 수 있다. 이항계수 C(r+t, t)와 부호 (−1)t가 번갈아 나타나며 과대·과소 계산을 보정한다.
2. 포함–배제 원리와의 관계 Relation to Inclusion–Exclusion
와링 정리는 초등 확률론의 포함–배제 원리(inclusion–exclusion theorem)를 일반화한 것이다. 실제로 r=1인 경우, 즉 "적어도 한 사건이 일어날 확률" P(1)은 다음과 같은 친숙한 포함–배제 꼴이 된다.
증명은 펠러(Feller)의 책 4장을 보라. 또한 와링 정리를 더 일반화한 결과로 슈테–네스빗 공식(Schuette–Nesbitt formula)이 있다.
식 (1)을 r에 대해 합하면, n개의 가능한 사건 중 적어도 r개가 일어날 확률 P(r)를 얻는다(좌변 P(r) = "적어도 r개").
여기서 이항계수가 C(r+t−1, t)로 바뀐 점에 주목하라("정확히 r개"의 식에서는 C(r+t, t)였다).
"정확히 r개"가 일어날 확률을 r, r+1, …, n에 대해 모두 더하면 "적어도 r개"가 일어날 확률이 된다. 두 공식은 같은 Sk들을 쓰되 이항계수만 한 칸 다르다. 옛 교과서들이 소개한 이른바 Z-방법(Z-method)은, 이 이항계수들이 Zr/(1−Z)r+1의 전개에서 처음 n−r+1개 항의 계수와 같다는 사실을 이용한 계산 요령일 뿐이다.
3. 생명보험·연금에의 응용 Application to Multiple Lives
이런 결과들은 많은 사람의 생사에 연동된 보험·연금을 평가하는 데 응용된다(다만 그런 문제가 보험계리 실무의 주류에서 나타나는 일은 드물다). 예를 들어, 현재 나이가 각각 x1, x2, …, xn인 n명이 있을 때, 표준 보험계리 기호로 다음을 정의한다.
- tpx1x2…xn[r] = P[t년 후 정확히 r명 생존]
- tpx1x2…xnr = P[t년 후 적어도 r명 생존]
각 생명의 사망이 서로 독립이라고 가정하면, 첫 번째 확률(정확히 r명 생존)은 와링 정리(식 1)로 계산할 수 있다. 이때 Sk는 생존확률들의 대칭합이 된다.
즉 사건 Ai를 "i번째 사람이 t년 후 생존"으로 두면, P[Ai] = tpxi가 되고, 독립성에 의해 교집합 확률은 생존확률들의 곱이 된다.
독립인 두 사람이 각각 t년 후 생존확률 p1=0.9, p2=0.8을 가진다. t년 후 정확히 1명이 생존할 확률은? (와링 정리로)
n=2, r=1이므로 S1=p1+p2=1.7, S2=p1p2=0.72. 와링 정리: P[정확히 1] = C(1,0)S1 − C(2,1)S2 = 1.7 − 2(0.72) = 0.26. 직접 검산하면 0.9×0.2 + 0.1×0.8 = 0.18+0.08 = 0.26으로 일치한다.
참고 및 관련 표제어
부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)
- 와링 정리 (Waring's theorem) — n개 사건 중 정확히 r개가 일어날 확률을 대칭합 Sk로 나타내는 공식.
- 대칭합 / 이항적률 (binomial moment) Sk — k개 사건의 교집합 확률을 모든 조합에 대해 더한 값. S0=1.
- 포함–배제 원리 (inclusion–exclusion principle) — "적어도 한 사건"의 확률을 부호를 번갈아 더하고 빼서 구하는 원리. 와링 정리의 r=1 특수경우.
- 슈테–네스빗 공식 (Schuette–Nesbitt formula) — 와링 정리를 더 일반화한 결과.
- Z-방법 (Z-method) — 이항계수가 Zr/(1−Z)r+1 전개의 계수와 같음을 이용한 옛 계산 요령.
- 생존확률 tpx — 나이 x인 사람이 t년 더 생존할 확률.
- 독립 (independence) — 한 사건의 발생이 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않는 성질. 교집합 확률 = 확률들의 곱.
- 이항계수 C(m, k) — m개에서 k개를 고르는 경우의 수. 와링 공식의 가중치.
한국보험시장 현황 Korea Market Practice
와링 정리는 다중 위험률 모형이나 복수 사건 동시 발생 확률을 다룰 때 이론적 배경을 제공한다. 한국 보험 실무에서 직접적으로 와링 정리가 거론되는 경우는 드물지만, 그 적용 원리는 단체보험 집합사망률 계산과 연생(joint-life) 연금 계산에서 포함-배제 원리로 나타난다. n명 피보험자 중 정확히 r명이 특정 기간 내 사망할 확률을 구하는 시나리오가 단체생명보험의 사망급부 평균·분산 산출에서 사용된다.
보험개발원이 산출하는 표준위험률에서도 복수 담보 동시 청구(예: 입원+수술 동시 지급) 확률 추정이 필요하다. 이때 단순 합산이 아니라 겹침(교집합) 부분을 보정해야 하며, 이는 와링 정리의 교번급수 구조와 일맥상통한다. 복합 CI(중대질병) 담보에서 다발성 질병 동시 청구 가능성을 요율에 반영할 때 포함-배제 방식의 확률 계산이 활용된다.
단체건강보험·단체상해보험에서 구성원 간 독립성 가정이 성립하지 않는 경우(예: 직업병·작업장 재해로 동시 다발 사고)에는 와링 정리로 계산된 이론값과 실제 경험값의 차이가 집합 손해 패턴의 이상 신호로 활용된다. 이런 독립성 위반 탐지는 경험위험률 조사와 결합해 단체계약의 재가입 조건 결정에 쓰인다.
단체보험에서 복수 담보 동시 청구 확률을 포함-배제(Inclusion-Exclusion) 방식으로 계산할 때, 높은 차수의 교집합 확률은 실제 데이터에서 추정하기 어려우므로 독립성 가정이 불가피하게 사용되는 경우가 많다. 이 경우 독립성 가정의 영향을 민감도 분석으로 평가하고, 실제 청구 패턴과의 비교를 사후 검증(back-testing)으로 수행하는 것이 권장된다. 구성원 간 양의 상관이 있으면 실제 집합 손해는 이론값보다 크므로, 준비금 충분성 검토에서 보수적 버퍼가 필요하다.