위상법 (위상형 분포)

1. 들어가며 Introduction

단계법(method of stages)은 Erlang에서 비롯된 것으로, 양의 확률변수 X가 (개수가 무작위일 수도 있는) 여러 단계(stage)로 분해되며 각 단계가 지수분포를 따르는 시간을 갖는다는 가정과 그에 관련된 기법을 가리킨다. 이를 유용하게 일반화한 것이 위상형 분포(phase-type distribution)로, 연속시간 마르코프 점프 과정이 유한개(m<∞)의 일시적 상태(transient state) 집합을 처음으로 벗어나는(흡수되는) 시간의 분포로 정의된다.

E = {1, 2, ..., m}을 일시적 상태 집합이라 하고, 나머지 상태를 하나의 흡수 상태(absorbing state) m+1로 묶자. 상태공간 E⁺ = E∪{m+1} 위의 연속시간 마르코프 점프 과정 {J_t}_t≥0을 생각하고, 그 과정이 흡수 상태 m+1에 도달하기까지의 시간을 X라 하면 X가 위상형 분포를 따른다고 말한다. {J_t}의 강도행렬(intensity matrix) Q는 다음과 같이 분해된다.

여기서 T = (t_ij)는 m×m 비특이(nonsingular) 행렬로 E 안의 상태 간 전이율을 담은 부분강도행렬(subintensity matrix), t = (t_i)는 흡수 상태로의 전이율을 주는 m차원 열벡터(탈출율, exit rates), 0은 영행벡터다. 강도행렬의 각 행의 합은 0이므로 다음 관계가 성립한다.

J₀의 초기분포가 E 위에 집중된 행벡터 α = (α₁, ..., α_m)이면 (α, T)가 위상형 분포를 완전히 특징짓는다. 이를 X ~ PH(α, T)로 쓰고 (α, T)를 그 분포의 표현(representation)이라 한다. (원문 표기 π를 여기서는 α로 통일한다.)

2. 위상형 분포의 예와 성질 Examples and Properties

위상형 분포의 예로는 지수분포(단계 1개), m개의 독립 지수분포의 합성곱(convolution, 단계 m개), 지수분포 혼합의 합성곱 등이 있다. 동일한 독립 지수분포 m개의 합성곱은 얼랑(Erlang) 분포, 서로 다를 수 있는 무작위 개수의 지수분포 합성곱은 콕스(Coxian) 분포라 한다. 위상도(phase diagram)는 위상형 분포의 진행을 나타내는 편리한 방법이다.

위상형 분포의 추가 성질은 다음과 같다.

• 위상형 분포 모임은 양의 실수축 위 모든 분포 모임 안에서 조밀(dense)하다. 즉 (0,∞) 위 임의의 분포 F는 위상형 분포열로 임의로 가깝게 근사할 수 있다.
• 위상형 분포의 꼬리는 지수적으로 빠르게 0에 접근하므로 가벼운 꼬리(light tail)를 갖는다.
• 표현은 일반적으로 유일하지 않으며 과모수화(overparameterized)되어 있다.
• 양의 실수축 위 분포가 위상형일 필요충분조건은, 그 라플라스–스틸체스 변환이 유리함수이고 최대 실수부를 갖는 극(pole)이 유일하며 밀도가 모든 곳에서 연속·양수인 것이다.

유리 라플라스–스틸체스 변환을 갖는 분포는 위상형 분포를 일반화하며, 이를 행렬지수 분포(matrix-exponential distribution)라 한다. 이들은 다음 형태의 밀도를 갖는다.

여기서 α는 행벡터, S는 행렬, s는 열벡터이지만, 위상형과 달리 초기분포나 전이율 같은 해석이 반드시 성립하지는 않는다.

3. 위상형 분포의 확률적 추론 Probabilistic Reasoning

위상형 분포로 작업할 때의 이점은, 유한 상태공간 위 마르코프 점프 과정이 만드는 확률적 해석을 갖는다는 것이다. 상태 전이 시각을 τ₁, τ₂, ... 라 하면 Y_n = J(τ_n)는 마르코프 연쇄이고 체류시간 τ_i+1−τ_i는 지수분포다. 위상법(phase method)의 힘은 바로 이 구조에 기댄다.

행렬지수를 exp(Qs) = ∑_n Qⁿsⁿ/n! 로 정의하면, {J_t}의 전이행렬 P(s)는 다음과 같다.

위에서 본 Q의 특수 구조 때문에 다음이 쉽게 성립한다.

이로부터 위상형 분포의 분포함수(cdf)와 밀도(density)를 행렬지수로 명시할 수 있다.

또한 n차 적률은 다음으로 주어진다.

예제 갱신밀도

도착간격이 위상형 PH(α, T)인 갱신과정의 갱신밀도 u(s)는 무엇인가?

한 도착의 흡수 직후 다음 도착의 마르코프 점프 과정을 이어 붙이면, 상태공간 E 위의 새 마르코프 점프 과정이 강도행렬 T + tα를 갖는다(상태 i→j는 직접 전이 t_ij 또는 “흡수 후 j에서 재시작” t_iα_j의 두 경로). 따라서 갱신밀도는 다음이 된다.

4. 파산확률의 위상형 해 Ruin Probability via Phase-type

보험료율이 1(일반성을 잃지 않음)인 위험준비금 과정 R_t를 생각하자. 클레임은 강도 β의 포아송 과정 N_t에 따라 도착하고, 클레임 크기 U₁, U₂, ...는 공통분포 PH(α, T)인 독립동일분포다.

여기서 u = R₀은 초기준비금이다. 파산확률을 다음으로 정의한다(드리프트가 양수라고 가정; 음수면 파산확률은 자명하게 1이다).

R₀=u에서 출발해 처음으로 R_t<u가 되는 시점을 보면, 이는 오직 클레임 시점에서만 일어날 수 있다. 클레임 시각 τ에 과정이 아래로 점프하는데, 이를 “수준 u를 아래로 통과하는 클레임의 내재 마르코프 점프 과정”으로 본다. 이 과정이 수준 u를 통과할 때 상태 i∈E에 있을 확률을 α_i⁺라 하자.

그러면 α⁺ = (α₁⁺, ..., α_m⁺)는 결손분포(defective distribution)가 된다(α⁺e<1). 결손분 1−α⁺e는 양의 드리프트 때문에 과정이 결코 수준 u를 아래로 통과하지 않을 확률이다. 수준을 통과할 때마다 같은 논리를 새 초기자본 u₁ = R_τ에서 반복하고, 클레임마다의 내재 마르코프 점프 과정을 이어 붙이면 도착간격이 위상형 (α⁺, T)인 (결손) 위상형 갱신과정을 얻는다. 파산은 이어 붙인 갱신과정이 시간 u를 지날 때만 일어난다. 따라서 파산확률은 다음과 같다.

여기서 α⁺는 갱신 논법으로 다음과 같이 계산된다.

더 일반적인 위험준비금 과정의 파산확률도 클레임이 위상형일 때 비슷한 방식으로 계산할 수 있다. 여기에는 보험료가 현재 준비금에 의존하는 모형, 클레임이 마르코프 변조 포아송 과정(또는 마르코프 도착과정 MAP)에 따라 도착하는 모형이 포함된다. 유한시간 파산확률도 위상형 가정 아래 계산할 수 있는데, 시간 시계가 얼랑 분포인 경우 점화식을 얻고, 얼랑 단계 수를 무한히 늘려 결정적 시간 S에 집중한 분포로 근사한다.

5. 위상형 분포의 추정 Estimation of Phase-type Distributions

위상형 분포의 자료는 두 종류로 본다. 첫째, 표본경로 전체 정보(궤적 J₁, ..., J_n)가 주어진 완전자료(complete data)의 경우. 둘째, 흡수까지의 시간 X₁, ..., X_n만 관측되는 불완전자료(incomplete data)의 경우(파산이론에서 클레임 크기를 위상형으로 가정하되 단계의 자연스러운 해석은 없는 경우가 이에 해당).

완전자료에서는 상태 i에서 시작한 횟수 B_i, 상태 i에 머문 총시간 Z_i, i→j 점프 횟수 N_ij로부터 최대가능도추정량을 α̂_i = B_i/n, t̂_ij = N_ij/Z_i 등으로 명시적으로 얻는다.

흡수시간만 관측되는 경우에는 EM 알고리즘으로 가능도를 최대화한다. 기댓값 단계(E-step)에서 충분통계량 B_i, Z_i, N_ij의 조건부 기댓값을 계산하고, 최대화 단계(M-step)에서 추정량을 갱신하기를 반복한다. 이 기댓값은 보통 m(m+2)차원 선형 동차 미분방정식계를 세우고 4차 룽게–쿠타(Runge–Kutta) 같은 수치법으로 푼다. EM은 수렴이 보장되지만 전역최대점으로 수렴한다는 보장은 없다.

위상형 모수 자체보다 그와 관련된 범함수(functional)(예: 파산확률, 대기시간)의 추정이 주목적인 경우가 많다. 표현이 유일하지 않아 모수 자체의 신뢰구간은 의미가 모호하므로, [9]에 기반한 베이즈 접근이 제안되었다. 이는 자료 X가 주어졌을 때 (α, T, J)의 조건부 분포를 정상분포로 갖는 마르코프 연쇄를 세우고(깁스 표집 + 메트로폴리스–헤이스팅스), 그 에르고드성으로 표현에 불변인 범함수를 표본평균해 추정하는 방법이다. 사전분포로는 α를 디리클레, 전이율을 감마로 두면 완전자료에 대해 켤레(conjugate)가 되어 사후분포가 같은 형태가 된다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 위상형 분포 (phase-type distribution) — 유한 상태 마르코프 점프 과정이 흡수 상태에 도달하기까지의 시간 분포. PH(α, T)로 표기.
• 표현 (representation, (α, T)) — 초기분포 행벡터 α와 부분강도행렬 T의 쌍. 위상형 분포를 완전히 결정한다(유일하지 않음).
• 부분강도행렬 (subintensity matrix, T) — 일시적 상태들 사이의 전이율을 담은 m×m 행렬.
• 탈출율 (exit rates, t) — 흡수 상태로 빠지는 율의 열벡터. t = −Te.
• 강도행렬 (intensity matrix, Q) — 마르코프 점프 과정의 전이율 행렬. 각 행의 합이 0.
• 행렬지수 (matrix exponential, exp(Tx)) — 스칼라 지수함수를 행렬로 확장한 것. 전이확률·밀도가 모두 이것으로 표현된다.
• 흡수 상태 (absorbing state) — 한 번 들어가면 빠져나오지 못하는 상태. 도달 시간이 곧 위상형 분포의 값.
• 행렬지수 분포 (matrix-exponential distribution) — 밀도가 αexp(Sx)s 형태인 분포. 위상형의 일반화.
• 결손분포 (defective distribution) — 전체 확률이 1보다 작은 분포. α⁺e<1인 사다리높이 분포가 그 예.
• EM 알고리즘 (EM algorithm) — 불완전자료에서 가능도를 최대화하는 반복법(E-step과 M-step).

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

위상법(단계법)과 위상형 분포는 한국 계리 실무에서 주로 장기 간병·CI 보험의 다중상태 모형과 연결된다. 간병(LTC) 보험에서 건강→경증 치매→중증 치매→사망이라는 상태 전이는 각 체류 시간을 지수분포로 근사하는 위상형 구조로 이상화할 수 있다. 실제로는 각 단계의 체류 시간이 순수 지수분포를 따르지 않으므로, 얼랑 혼합(위상형 분포의 특수 경우)으로 비지수 체류 분포를 근사하는 기법이 사용된다.

K-ICS 생명·건강 리스크 산출에서 장기 계약의 상태 전이 행렬을 사용할 때, 전이율의 시간 일관성(generator 행렬 조건)이 수학적 요건이 된다. 위상법은 이 generator 행렬에서 지수함수적 분해를 보장하므로, 수치 안정성이 요구되는 장기 계약 평가에서 이론적 근거로 인용된다. 보험계리 소프트웨어에서 IBNR·장래 지급급부 계산에 행렬 지수함수(matrix exponential)를 사용하는 것도 위상형 구조의 실용화 사례다.

단체상해보험·산업재해 모형에서 부상 후 회복·장해 전이 구조도 위상형 분포로 모형화할 수 있다. 이때 관측이 충분하지 않은 희귀 전이경로의 전이율 추정에는 베이지안 추론과 결합된 위상형 모형이 안정적인 추정치를 제공한다. 실무에서는 단순화된 2~4 상태 모형을 쓰는 경우가 많지만, 복잡한 간병급부 구조를 정확히 반영하려면 위상수를 늘려야 한다는 이론적 유인이 IFRS17 체계에서 강화되고 있다.