위상형분포

1. 개요 Overview

위상형분포(phase-type distribution)는 지난 25년간, 지수분포의 중요한 성질들을 유지하면서 그것을 일반화하는 인기 있는 방법으로 큰 주목을 받아왔다. 사실 위상형분포는 마르코프적 해석(Markovian interpretation)이 가능한 가장 일반적인 분포족 중 하나다. 좋은 해석적 성질을 가지며, 지수분포, 지수분포들의 조합·혼합, 그리고 얼랑(Erlang) 분포를 특수한 경우로 포함한다.

나아가 위상형분포는 알고리즘적으로 다루기 쉬운 해법 절차를 끌어낼 수 있어, 확률과정을 분석하는 데 중요한 계산상의 역할을 한다. 그 결과 대기행렬이론(queueing theory)과 보험 파산이론(ruin theory) 등 응용확률의 여러 분야에서 널리 쓰여 왔다. 위상형분포는 1975년 Marcel Neuts가 처음 도입했고, 그의 1981년 저서가 표준 참고문헌이 되었다.

2. 연속 위상형분포의 정의 The Continuous Phase-type Distribution

전이상태(transient states) 1, 2, …, m과 단 하나의 흡수상태(absorbing state) m+1을 갖는 마르코프 과정(마르코프 연쇄·과정 참조)을 생각하자. 각 전이상태 j에서 출발할 초기확률 α_j를 담은 행벡터를 α = (α₁, α₂, …, α_m)로 정의한다. α의 성분들의 합이 꼭 1일 필요는 없는데, 과정이 확률 α_m+1로 처음부터 흡수상태에서 시작할 수 있기 때문이다. 0에서 확률질량이 없는 순수 연속 양을 모형화할 때는 α_m+1 = 0으로 둔다.

이 마르코프 과정의 무한소 생성원(infinitesimal generator) Q는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 우상단 블록 t⁰ = −T e이며, T는 m 전이상태 사이의 전이율을 담은 m×m 비특이(nonsingular) 행렬이다. T의 대각성분은 반드시 음수이고 나머지 성분은 음이 아니다. t⁰은 각 전이상태에서 상태 m+1로의 흡수율을 담은 m×1 열벡터이며, 필연적으로 t⁰ = −T e이다(e는 1로 이루어진 m×1 열벡터). 또 0은 영(零)으로 이루어진 1×m 행벡터다.

흡수상태 m+1로 흡수되기까지의 시간을 X라 하면, 확률변수 X는 표현 (α, T)를 갖는 (연속) 위상형분포를 따른다고 한다. X의 누적분포함수는

로 주어지며, 여기서 행렬지수(matrix exponential)는 다음으로 정의된다.

또한 X는 x = 0에서 확률질량 α_m+1을 가지며, (0, ∞)에서의 밀도 부분은

로 주어진다. 라플라스–스틸체스 변환(Laplace–Stieltjes transform)은

이고(I는 m×m 단위행렬), n차 비중심적률은

로 주어진다. 위 양들의 계산은 대부분의 수학 소프트웨어로 손쉽게 할 수 있는 일상적 작업이다. 행렬지수 계산에 대한 훌륭한 설명은 Lange(2003)의 해당 부분을 참고하라.

3. 닫힘 성질 Closure Properties

위상형분포에 여러 연산을 가해도 그 결과가 다시 위상형분포가 된다 — 이는 위상형분포의 매우 매력적인 성질이다. 여러 닫힘 성질(closure properties) 가운데 강조할 만한 핵심은 다음과 같다.

• (1) 유한 n중 합성곱: 위상형분포들의 유한 n겹 합성곱(convolution)은 다시 위상형이다.
• (2) 평형(적분꼬리) 분포: 위상형 확률변수의 평형분포(integrated tail / 전방재현시간 분포)는 다시 위상형이다.
• (3) 기하혼합: 위상형분포의 n중 합성곱의 기하혼합(즉 복합기하분포)은 다시 위상형이다.

4. 이산 위상형분포 The Discrete Phase-type Distribution

마지막으로, 연속 위상형분포의 이산 유사물이 존재함을 언급한다. 초기확률벡터 (α, α_m+1)과 다음 전이확률행렬을 갖는 이산시간 마르코프 연쇄에서, 상태 m+1로 흡수되기까지의 시간 X를 생각하면 된다.

이제 T는 준확률(substochastic) 행렬이고 우하단 블록은 1이며, t⁰ = e − Te이다. 이산 위상형의 확률질량함수 p_k = Pr{X = k}는 다음으로 정의된다.

음이 아닌 정수 위에서 유한한 받침을 갖는 모든 이산확률분포가 이산 위상형임을 쉽게 확인할 수 있다. 이산 위상형분포에 대한 더 자세한 내용은 관련 문헌(Latouche–Ramaswami, Neuts)을 참고하라.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 위상형분포 (phase-type distribution) — 여러 전이상태(위상)를 거쳐 흡수상태에 도달하기까지의 시간 분포.
• 마르코프 과정 (Markov process) — 미래가 현재 상태에만 의존(과거 무관)하는 확률과정.
• 전이상태·흡수상태 (transient / absorbing state) — 과정이 잠시 머무는 상태와, 한 번 들면 빠져나오지 못하는 상태.
• 무한소 생성원 (infinitesimal generator) Q — 연속시간 마르코프 과정의 순간 전이율을 담은 행렬.
• 행렬지수 (matrix exponential) — 스칼라 지수의 멱급수 정의를 행렬로 확장한 exp(Tx) = Σ xⁿTⁿ/n!.
• 라플라스–스틸체스 변환 (Laplace–Stieltjes transform) — 분포를 특징짓는 적분변환. 적률·합성곱 계산에 유용.
• 합성곱 (convolution) — 독립 확률변수들의 합의 분포를 주는 연산.
• 복합기하분포 (compound geometric) — 기하분포 개수만큼의 합으로 된 분포. 파산액 분포에 등장.
• 얼랑분포 (Erlang distribution) — 동일한 율의 지수단계 여럿을 합한 분포. 위상형의 특수한 경우.
• 준확률행렬 (substochastic matrix) — 각 행의 합이 1 이하인 비음 행렬. 이산 위상형의 T에 해당.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

위상형분포는 지수분포의 마르코프적 일반화로, 한국 계리 실무에서 보험금 지급 지연(reporting lag)이나 간병 체류 시간 모형에 이론적 토대를 제공한다. IBNR(발생했으나 미보고) 준비금 산출에서 사고-보고 시차 분포를 위상형분포로 적합하면, 지수 혼합의 유연성으로 비대칭·두꺼운 오른쪽 꼬리를 포착하면서도 해석 가능한 Laplace 변환과 모멘트를 유지할 수 있다.

K-ICS 계약자행동 가정 중 해지 경로(부분해지→완전해지) 모형은 다단계 전이 구조를 가지며, 이 전이가 지수분포 체류 시간을 갖는다고 가정하면 위상형분포로 귀결된다. 이 경우 생성행렬 T의 음의 고유값이 체류 속도를, 초기분포 벡터 π가 진입 경로를 결정한다. 위상수(m)를 적절히 선택하면 임의의 비음 분포를 임의 정밀도로 근사할 수 있다는 이론적 보장이 모형 선택의 근거가 된다.

장기 재보험(excess of loss) 계약의 소진 기간 분포 추정에도 위상형분포가 활용된다. 대규모 단일 사고(Cat 이벤트)의 최종 지급까지 걸리는 시간의 분포가 비지수적일 때, 위상형분포는 행렬 지수함수로 생존함수·평균·분산의 닫힌 형태 표현을 유지하므로 재보험 프리미엄 계산과 준비금 추정을 효율화한다. 코리안리와 외국계 재보험사가 공동 분석하는 대형 위험 재보험 계약에서 이 기법의 채택이 점진적으로 늘고 있다.