이산 다변량분포 (Discrete Multivariate Distributions)

※ 원문은 22쪽에 이르는 서베이(개관) 논문입니다. 이 해설서는 보험계리 학습에 중요한 핵심 — 주요 분포족의 정의·적률·성질 — 을 중심으로 간추린 요약본입니다.

1. 표기와 서론 Definitions and introduction

k차원 이산 확률벡터 X=(X₁,…,X_k)ᵀ에 대해 확률질량함수 P_X(x), 확률생성함수 G_X(t)=E{Πt_i^X_i}, 적률생성함수 M_X(t)=E{e^{tᵀX}}, 누율생성함수 K_X=log M_X, 특성함수 φ_X(t)=E{e^{itᵀX}}를 쓴다. r차 혼합 원적률 µ′_r, 중심적률 µ_r, 하강 계승적률 µ′_(r)(X)=E{ΠX_i^(r_i)} (X^(r)=X(X−1)…(X−r+1)), 상승 계승적률 µ′_[r], 혼합 누율 κ_r 등이 기본 도구다. 단변량 이산분포에 비해 이산 다변량분포의 연구는 "적다(little)"고 했던 콕스의 평은 지금도 "덜하다(less)" 정도로만 바꿀 수 있다고 존슨–코츠–발라크리슈난은 말한다. 이산 다변량분포 — 특히 다항분포 — 는 지급준비금 산정과 재보험 응용에서 관심이 크다.

적률 사이의 관계. 계승적률과 원적률은 스털링 수로 오간다 — 1종 스털링 수 s(n,ℓ)로 µ′_(r)를 µ′들의 합으로, 2종 스털링 수 S(n,ℓ)로 µ′_r을 µ′_(ℓ)들의 합으로 쓸 수 있고(식 5–10), 이항전개로 중심적률–원적률–누율 사이의 관계도 닫힌 형태로 얻는다. 한 종류의 적률을 알면 다른 모든 종류를 기계적으로 얻을 수 있다는 뜻이다.

조건부·팽창·절단 분포. 조건부 확률생성함수의 일반 공식이 있고, 특정 값(보통 0)의 확률을 부풀린 팽창(inflated) 분포 — 보험에서는 무클레임 확률을 키우는 영팽창(zero-inflated) 모형 — 와, 변수 일부를 제약한 절단(truncated) 분포도 같은 틀에서 다룬다.

2. 다항분포 Multinomial distributions

n번의 독립 시행에서 k개의 범주가 각각 확률 p₁,…,p_k로 나올 때 범주별 도수 X의 분포:

하강 계승적률은 µ′_(r)(X) = n^(Σr_i)Πp_i^r_i로 닫힌 형태이고(식 37), 이로부터

이다 — 상관이 항상 음수이고(한 범주가 늘면 다른 범주가 줄 수밖에 없다) 분산–공분산 행렬은 계수 k−1의 특이행렬이다. 주변분포는 이항, 부분벡터(나머지를 묶은)는 다시 다항, 조건부 분포도 다항이어서 회귀가 선형이다(분산은 이분산적). 같은 p의 독립 다항분포의 합은 다시 다항 — 지표 n에 대한 재생성 — 이지만 p가 다르면 성립하지 않는다. 엔트로피는 등확률(p=1/k)에서 최대이고, P(∩{X_i≤c_i}) ≤ ΠP{X_i≤c_i} 류의 부등식들이 성분 간 음의 종속을 확립한다.

계산·근사·특성화. 꼬리확률은 불완전 디리클레 적분으로 표현되고(올킨–소벨), 국소 전개에서 n^{−1/2} 항을 버리면 친숙한 카이제곱 근사

가 나온다 — 적합도 검정 통계량의 기원이다. Y=X/n에 디리클레 밀도를 쓰는 존슨의 근사는 1·2차 적률을 정확히 맞춘다. 볼셰프의 특성화: 독립 비음 정수값 변수들이 비퇴화 포아송일 필요충분조건은 합이 주어졌을 때의 조건부 분포가 비퇴화 다항인 것 — 시뮬레이션(브라운–브롬버그의 2단계 알고리즘)에도 쓰인다. 추정은 베이즈 접근에서 디리클레 사전분포가 표준이며, p에 디리클레를 섞으면 디리클레-복합 다항분포(= 다변량 폴리아; 음의 다변량 초기하라고도 부른다)가 나온다. 과대산포 범주형 자료에는 다항의 유한혼합이 쓰인다.

3. 음의 다항분포 Negative multinomial distributions

확률생성함수가

인 분포(다변량 음이항이라고도 한다; n은 분수도 가능). p₀=1/Q, p_i=P_i/Q로 쓰면

이다. 계승적률에서 상관계수는

로 항상 양수 — 다항분포(항상 음수)와 정반대다. 부분벡터도 음의 다항이고, 회귀는 모두 선형이며, 합 N=ΣX_i가 주어지면 조건부 분포는 다항이고 N 자체는 단변량 음이항이다. 최대우도 추정 방정식(식 69–71)이 정리되어 있고, 디리클레를 섞은 디리클레-복합 음의 다항분포도 비슷한 성질을 갖는다.

다변량 베르누이·이항. 0/1 벡터의 일반 분포(다변량 베르누이)는 2^k개의 확률로 지정되며(토이겔스의 정수 대응), i.i.d. 다변량 베르누이 n개의 합이 다변량 이항분포다.

4. 다변량 포아송 분포 Multivariate Poisson distributions

이변량(홀게이트 구성). 독립인 Y₁~포아송(θ₁), Y₂~포아송(θ₂), Y₁₂~포아송(θ₁₂)로

를 만들면 주변분포는 포아송(θ₁+θ₁₂), 포아송(θ₂+θ₁₂)이고 결합 질량함수는 식 (78)의 합 형태다. 질량함수는 재귀식

을 만족하는데, 이는 판여 재귀를 일반화한 헤셀라거의 이변량 계수분포 재귀의 특수경우다 — 보험 총클레임 계산과의 접점이다. 공분산은 Cov(X₁,X₂)=θ₁₂(공통 충격의 분산)이고

는 θ₁₂{θ₁₂+min(θ₁,θ₂)}^{−1/2}을 넘지 못한다 — 양의 상관만, 그것도 제한된 범위만 가능하다. 조건부 분포는 "포아송 + 이항"의 독립합이어서 회귀는 선형, 산포는 이분산적이다(식 85–86). 최대우도 추정에서 θ̂₁₂는 다항방정식의 수치해가 필요해, 표본공분산(적률 추정)이나 짝수점법·이중영점법 같은 대안이 쓰인다. k변량 일반화는 공통 성분 Y를 더하는 X_i=Y_i+Y 구성이 자연스럽고, 모든 짝·삼중·…·k중 공통항을 갖춘 타이허의 일반형(식 97; 무한분해가능), 모든 주변이 포아송인 루카치–비어 형태 등이 있다. 포아송 모수에 분포를 입힌 복합(혼합) 이변량 포아송, 일반화 포아송·네이만 A형을 성분으로 쓴 이변량 short·들라포르트 분포, 한쪽 주변이 네이만 A형인 포아송–포아송 분포(G(t₁G₂(t₂)) 구조), 두 조건부가 모두 포아송인 유일한 분포(베솔로프스키) 등 변형이 많다.

5. 다변량 초기하분포 Multivariate hypergeometric

m명 중 유형 G_i가 m_i명인 모집단에서 n명을 비복원추출할 때 유형별 표본 수의 분포:

m→∞, m_i/m→p_i이면 다항분포로 수렴하므로 성질도 닮았다 — 주변은 초기하, 부분벡터·조건부도 다변량 초기하이고, 회귀는 선형(이분산적), 상관은 모두 음수다(식 101). 모수가 음이 아닌 정수일 필요가 없다는 관찰에서 다변량 역초기하·음의 초기하·음의 역초기하 분포가 정의되고, 일반화 초기하(식 105), 여러 분포를 특수경우로 담는 통합 다변량 초기하(스테인 족, 식 106), 등확률 제약점유 모형, 편향 표집에서 나오는 비중심 초기하 등이 파생된다. X|m을 다변량 초기하, m에 다항 사전분포를 주면 주변분포가 정확히 다항이 되는 초기하–다항 모형은 경험적 베이즈 추론에 쓰인다. 품질관리가 자연스러운 응용 무대다.

6. 다변량 폴리아–에겐베르거 분포 Multivariate Pólya–Eggenberger

항아리에 색 C₁,…,C_k의 공이 a₁,…,a_k개(합 a) 들어 있고, 한 개를 뽑아 색을 확인한 뒤 같은 색 공 c개를 더해 되돌려 넣기를 n번 반복할 때 색별 누적 횟수의 분포:

c=0이면 다항분포(복원추출), c=−1이면 다변량 초기하(비복원추출)로 환원된다 — 두 분포를 잇는 다리다. 적률은

로 역시 모두 음의 상관이다. c>0이면 "성공이 성공을 부르는" 전염(contagion) 모형이 되며, 보험에서 사고 경향성(accident proneness)의 고전적 모형이다.

7. 그 밖의 분포족 Other families

• 다변량 멱급수 분포 — P(x) ∝ a(x)Πθ_i^x_i/A(θ) 꼴의 통일적 족. 다항·음의 다항·다변량 포아송을 포괄하고 적률·추정의 일반 공식을 준다.
• 다변량 이산 지수족 — 자연모수화로 추론 이론이 정비된 족.
• 가중(weighted) 분포 — P^w(x)=w(x)P(x)/E[w(X)]. 크기편향 표집 등 관측 메커니즘의 왜곡을 반영.
• 런(run) 관련 분포 — 사건의 횟수가 아니라 연속 발생(런·패턴)의 분포. 최근 20년간 활발히 발전했다.
• 그 밖에 다변량 보렐–탄너, 다변량 라그랑주 포아송, 다변량 일반화 웨어링(생성 위험·외생 위험의 분리에 사용) 등.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 계승적률 (factorial moment) — E[X(X−1)…(X−r+1)] 류. 이산분포에서 원적률보다 다루기 쉽다.
• 스털링 수 — 거듭제곱과 계승 사이의 변환계수. 적률 종류 간 환산에 사용.
• 영팽창 분포 (zero-inflated) — 0의 확률을 따로 부풀린 혼합. 무클레임 과잉 자료의 표준 처리.
• 재생성 (reproducibility) — 같은 족의 독립합이 다시 같은 족이 되는 성질.
• 공통충격 모형 (common shock) — 공유 성분을 더해 양의 종속을 만드는 구성(홀게이트).
• 디리클레-복합 (Dirichlet-compound) — 확률모수에 디리클레를 섞은 분포. 다항이면 다변량 폴리아.
• 폴리아 항아리 — 뽑은 색을 c개 더 넣는 강화 추출. 전염·사고경향성의 고전 모형.
• 멱급수 분포족 (power series) — 정규화 상수 A(θ)의 멱급수로 정의되는 통일 틀.
• 크기편향 (size-biased) — 큰 값일수록 관측되기 쉬운 표집. 가중분포의 대표 사례.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

여러 건수를 동시에 다루는 이산 다변량분포의 문제설정은 한국 보험 데이터에서 흔하다. 자동차보험의 한 사고는 대인·대물·자기차량 등 복수 담보의 청구를 동시에 발생시키고, 통합형 건강·어린이보험은 진단·수술·입원 등 수십 개 담보가 한 피보험자 위에서 함께 움직인다. 담보별 건수를 따로 세면 주변분포만 남고 "같은 사고에서 함께 발생했다"는 정보가 사라지므로, 결합 구조 — 본문 4장의 다변량 포아송이 형식화한 공통충격(common shock) — 를 명시적으로 두는 것이 포트폴리오 변동성을 바로 보는 길이다. 하나의 원인(λ₀)이 여러 담보의 건수를 동시에 끌어올리는 구조는 태풍·집중호우 시 다수 계약 동시 청구, 한 사업장의 단체 사고 같은 집적위험의 수리적 뼈대이기도 하다.

다항분포(본문 2장)는 분류가 있는 곳마다 쓰인다. 사고를 상해 등급별(경상·중상·사망)로 나누는 일, 클레임을 처리 상태별(접수–심사–지급–종결)로 집계하는 일, 언더라이팅 결과를 표준체·할증·거절로 나누는 일은 모두 "총 건수를 범주로 배분하는" 다항 구조이며, 범주 비율의 추정 오차와 범주 간 음의 상관(한쪽이 늘면 다른 쪽이 준다)이라는 다항분포의 성질이 통계 해석의 기본기가 된다. 폴리아–에겐베르거류(본문 6장)의 전염(contagion) 구조 — 한 번 발생이 다음 발생 확률을 높이는 — 는 실손의료보험의 반복 청구, 빈번 청구자 군집 같은 현상의 모형 후보로 의미가 있다.

제도 측면에서 결합분포적 사고가 가장 크게 작동하는 곳은 K-ICS의 리스크 집계다. 표준모형은 리스크 모듈 간 상관계수 행렬로 분산효과를 인정하는데, 이는 결합분포의 2차 모멘트 정보만 쓰는 단순화이고, 회사의 자체위험·지급여력평가(ORSA)나 내부 분석에서는 공통충격·시나리오 기반으로 의존성을 더 정밀하게 본다. IFRS17에서도 위험조정(RA)의 분산효과 인정 범위 — 포트폴리오 간 의존성을 얼마나 반영할 것인가 — 가 결합분포 가정의 문제다. 감염병처럼 모든 담보·계약에 동시에 작용하는 사건(코로나19의 실손·건강 청구 패턴 변화)은 "독립 가정은 평시의 근사"라는 본문의 함의를 한국 시장이 직접 경험한 사례다.