이산 모수분포 (Discrete Parametric Distributions)
1. 계수분포란 무엇인가 Counting distributions
이 글의 목적은 보험 모형화에 쓰이는 대표적인 계수분포(counting distribution) 족을 소개하는 것이다. 계수분포란 음이 아닌 정수 0, 1, 2, 3, …에만 확률이 놓이는 이산분포로, 보험에서는 피보험자의 손실 발생 건수나 보험회사에 접수되는 클레임 건수를 기술한다. 클레임의 건수 과정과 금액 과정을 분리해 이해하면 총손실만 아는 경우보다 보험을 둘러싼 여러 문제 — 특히 공제금액·보상한도 같은 계약조건 변경의 효과 — 를 훨씬 깊이 다룰 수 있다. 또한 건수 모형은 비교적 얻기 쉽고, 널리 쓰이는 분포들이 실제로 손실 발생 성향을 잘 묘사한다는 경험적 근거도 충분하다.
사건이 정확히 k번 일어날 확률을 pk, 사건 수를 확률변수 N이라 하면 확률함수(pf)와 확률생성함수(pgf)는 다음과 같다.
pgf는 분포를 유일하게 결정하므로, 두 확률변수의 pgf가 같으면 분포가 같다. 독립합의 pgf는 pgf의 곱이 되고, 미분으로 적률을 뽑아낼 수 있으며(P′(1)=E[N]), 총클레임 S의 pgf가 PN(PX(z))로 합성되는 등 빈도 모형의 거의 모든 계산이 pgf를 통해 이루어진다. 아래 각 분포의 pgf 형태를 눈에 익혀 두면 합성분포·재귀계산 표제어를 읽을 때 큰 도움이 된다.
2. 포아송 분포 Poisson distribution
평균 λ>0인 포아송 분포는 보험 모형화에서 가장 중요한 분포의 하나로, 확률함수와 pgf는
이고 평균과 분산이 모두 λ이다. N₁, N₂가 평균 λ₁, λ₂인 독립 포아송이면 N=N₁+N₂의 pgf는
이므로 pgf의 유일성에 의해 N은 평균 λ₁+λ₂인 포아송이다 — 즉 독립 포아송의 유한합은 다시 포아송이다(재생성). 따라서 중심극한정리에 의해 λ가 크면 포아송은 정규분포에 가깝다. 포아송 분포는 무한분해가능(infinitely divisible)하며 이는 확률과정 이론에서 핵심적 성질이다. 이런 수학적 장점 때문에 클레임 건수 모형으로 즐겨 쓰이지만, 분산이 평균과 같도록 제약되어 있다는 점이 관측 자료와 맞지 않는 경우가 많다는 것이 큰 약점이다.
원문 예제 1 (Douglas, 1980). 어느 보험회사의 1년 기록에서 특정 담보에 대해 하루에 발생한 클레임 유발 사고 건수를 집계하였다. 365일 동안 총 742건이 발생했고, 최대우도 추정치는 λ̂=742/365=2.0329이다. 적합 결과는 다음과 같다.
| 건수/일 k | 관측 일수 nk | 포아송 확률 p̂k | 기대 일수 365p̂k |
|---|---|---|---|
| 0 | 47 | 0.1310 | 47.8 |
| 1 | 97 | 0.2662 | 97.2 |
| 2 | 109 | 0.2706 | 98.8 |
| 3 | 62 | 0.1834 | 66.9 |
| 4 | 25 | 0.0932 | 34.0 |
| 5 | 16 | 0.0379 | 13.8 |
| 6 | 4 | 0.0128 | 4.7 |
| 7 | 3 | 0.0037 | 1.4 |
| 8 | 2 | 0.0009 | 0.3 |
| 9+ | 0 | 0.0003 | 0.1 |
관측 도수와 기대 도수가 잘 맞아, 이 자료에는 포아송 분포가 적절함을 보여 준다.
3. 기하분포 Geometric distribution
모수 β>0인 기하분포의 확률함수·분포함수·pgf는
이고 평균은 β, 분산은 β(1+β)이다. 분산이 평균보다 크다는 점에 주목하라.
4. 음이항분포 Negative binomial distribution
폴리아(Polya) 분포라고도 불리는 음이항분포는 r, β>0에 대해
이다. 평균은 rβ, 분산은 rβ(1+β)로 분산이 평균을 초과한다 — 이것이 과대산포(overdispersion)의 전형이며, 포아송이 자료에 맞지 않을 때 음이항(과 그 특수경우인 r=1의 기하분포)이 클레임 건수 모형으로 자주 쓰이는 이유다.
독립 음이항 변수 Xi(모수 ri, β)의 합은 모수 r₁+…+rn, β인 음이항이다. 따라서 r가 크면 중심극한정리에 의해 근사적으로 정규분포다. 한편 rβ=λ를 고정한 채 r→∞, β→0이면 극한은 평균 λ인 포아송이다 — r가 크고 β가 작으면 포아송 근사가 좋다. r=1이면 기하분포, r가 정수이면 파스칼(Pascal) 분포라고도 부른다.
원문 예제 2 (Tröbliger, 1961). 자동차보험의 한 등급에 속한 운전자 23,589명의 1년간 사고 건수 자료에 포아송과 음이항을 최대우도로 적합한 결과다.
| 건수/년 | 운전자 수 | 포아송 기대 | 음이항 기대 |
|---|---|---|---|
| 0 | 20592 | 20420.9 | 20596.8 |
| 1 | 2651 | 2945.1 | 2631.0 |
| 2 | 297 | 212.4 | 318.4 |
| 3 | 41 | 10.2 | 37.8 |
| 4 | 7 | 0.4 | 4.4 |
| 5 | 0 | 0.0 | 0.5 |
| 6 | 1 | 0.0 | 0.1 |
| 7+ | 0 | 0.0 | 0.0 |
| 계 | 23589 | 23589.0 | 23589.0 |
특히 오른쪽 꼬리에서 음이항이 포아송보다 훨씬 잘 맞는다 — 사고를 3건 이상 낸 운전자가 포아송 예측(약 10.6명)보다 실제(49명)로 훨씬 많은데, 음이항(42.8명)은 이를 잘 포착한다.
포트폴리오의 운전자들이 저마다 다른 사고 성향 λ를 가진다고 하자. 개인별로는 포아송이라도, λ에 감마분포를 섞으면(혼합) 전체 건수는 정확히 음이항이 된다. 즉 "분산 > 평균"은 흔히 위험의 이질성의 신호다. 한국 자동차보험의 우량할인·할증(BM) 제도가 음이항(포아송-감마) 모형에 기반한 신뢰도 이론으로 설계되는 것도 같은 맥락이며, 보험계리사 시험의 빈도모형 단원에서 "표본분산/표본평균" 비로 포아송·음이항·이항을 가르는 진단이 단골로 출제된다.
표 2의 자료에서 표본평균과 표본분산을 구하고, 적률법으로 음이항 모수 r̂, β̂를 추정하라.
총 건수는 2651+2·297+3·41+4·7+6·1 = 3402이므로 평균 x̄=3402/23589=0.1442. 또 Σk²nk=2651+4·297+9·41+16·7+36·1=4356에서 E[N²]̂=0.1847, 분산 s²=0.1847−0.1442²=0.1639. 적률방정식 rβ=0.1442, rβ(1+β)=0.1639에서 1+β̂=0.1639/0.1442=1.137, 즉 β̂=0.137, r̂=0.1442/0.137=1.05. 분산이 평균보다 13.7% 크므로 포아송(분산=평균)으로는 부족하고, 음이항이 적절함을 수치로 확인할 수 있다. 최대우도 추정치도 이와 비슷한 값을 준다.
5. 로그분포 Logarithmic distribution
로그(로그급수)분포는 0<q=β/(1+β)<1에 대해
이고 평균은 β/log(1+β), 분산은 {β(1+β)log(1+β)−β²}/{log(1+β)}²이다. 앞의 분포들과 달리 0에 확률질량이 없다(k=1부터 시작). 또한 기하분포처럼 pk가 k에 대해 단조 감소라는 점이 모형화에서는 제약이 된다.
로그분포는 음이항·포아송과 밀접하다. 음이항 N에 대해 Y=N|N>0(영절단)의 확률함수를 정리하면
즉 로그분포는 영절단 음이항분포의 r→0 극한이다. (한편 복합 포아송-로그 분포가 정확히 음이항이 된다는 사실은 "복합 포아송 빈도모형" 표제어에서 다룬다.)
6. 이항분포 Binomial distribution
앞의 분포들과 달리 유한한 받침 {0, 1, …, n}을 갖는 이항분포는 0<p<1에 대해
이다(평균 np, 분산 np(1−p) — 분산이 평균보다 작은 과소산포). n이 크고 np=λ이면 포아송으로 잘 근사되며, 계산 편의 때문에도 포아송 근사가 즐겨 쓰인다. n=1이면 베르누이 분포다.
포아송·음이항(기하 포함)·이항은 모두 pk/pk−1 = a + b/k 라는 공통 재귀를 만족하는 (a, b, 0)족이다(a<0: 이항, a=0: 포아송, 0<a<1: 음이항). 이 구조 덕분에 총클레임 분포를 효율적으로 계산하는 판여(Panjer) 재귀가 성립하며, 분산/평균 비(1보다 작음·같음·큼)로 셋 중 하나를 고르는 실무 진단과도 정확히 대응한다. 자세한 내용은 "Sundt and Jewell Class of Distributions" 표제어를 보라.
7. 일반화 Generalizations
위 분포들의 일반화는 무수히 많으며, 대표적 두 방법이 혼합(mixing)과 복합(compounding)이다. 혼합분포와 복합분포는 이 백과사전의 다른 표제어에서 다룬다. 예컨대 들라포르트(Delaporte) 분포는 포아송과 음이항을 혼합해 얻는다. 그 밖의 기법에 의한 일반화 이산분포 역시 별도 표제어("일반화 이산분포")의 주제다. 이산분포 전반의 포괄적 문헌으로는 Johnson, Kotz & Kemp의 Univariate Discrete Distributions가 있다.
참고 및 관련 표제어
부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)
- 계수분포 (counting distribution) — 0, 1, 2, …에만 확률이 놓이는 이산분포. 클레임 건수 모형의 기본 틀.
- 확률생성함수 (pgf) — E[zN]. 분포를 유일하게 결정하며 독립합·합성·적률 계산의 핵심 도구.
- 재생성 (reproducibility) — 같은 족의 독립합이 다시 같은 족이 되는 성질. 포아송·음이항(β 공통)이 가진다.
- 무한분해가능 (infinitely divisible) — 임의의 n에 대해 iid n개의 합으로 표현 가능한 분포. 레비 과정과 연결된다.
- 과대산포 (overdispersion) — 분산 > 평균. 위험 이질성의 신호로, 음이항의 영역.
- 영절단 분포 (zero-truncated) — N|N>0. 0건은 관측되지 않는 자료(접수된 클레임만 기록)에 자연스럽다.
- 최대우도 추정 (MLE) — 관측자료의 우도를 최대화하는 모수값. 포아송에서는 표본평균과 일치.
- 적률법 (method of moments) — 표본적률 = 이론적률 방정식으로 모수를 푸는 추정법.
- 혼합 (mixing) — 모수에 분포를 입혀 평균화하는 일반화. 포아송-감마 혼합 = 음이항.
- 복합 (compounding) — 랜덤 횟수의 합 N₁+…+NM 꼴 일반화. 포아송-로그 복합 = 음이항.
- 들라포르트 분포 (Delaporte) — 포아송 성분과 음이항 성분의 합(혼합)으로 얻는 3모수 계수분포.
- 파스칼 분포 (Pascal) — r가 정수인 음이항분포의 별칭.
한국보험시장 현황 Korea Market Practice
계수분포의 한국 실무 본거지는 자동차보험과 장기손해보험의 빈도 모형이다. 사고 건수를 포아송으로 두는 것이 출발점이지만, 실제 국내 데이터는 운전자·계약 간 이질성 때문에 분산이 평균을 넘는 과대산포를 거의 예외 없이 보이고, 따라서 포아송–감마 혼합으로 유도되는 음이항분포가 빈도 모형의 사실상 표준이다. GLM 요율 분석에서도 빈도 부분은 포아송(과산포 보정) 또는 음이항 오차로 적합하며, 이는 본문이 말한 "혼합이 곧 이질성"이라는 해석과 정확히 일치한다.
국내 자동차보험의 할인할증(보너스–말러스) 제도는 계수분포 이론의 제도화된 응용이다. 무사고 기간에 따라 등급이 오르내리는 구조의 보험료 영향, 등급별 이동 확률, "사고를 내면 할증되니 소액사고는 자비 처리한다"는 행동(헝거 포 보너스)까지, 모두 사고 건수 분포 위에서 분석된다. 또한 관측되는 것은 "발생 건수"가 아니라 "보고된 건수"이므로, 0건이 관측에서 빠지거나 부풀려지는 구조 — 영절단·영수정·영과잉 분포가 필요한 상황 — 가 국내 데이터에서도 그대로 나타난다.
제도 계산과의 연결도 분명하다. IFRS17 최선추정 현금흐름의 클레임 빈도 가정, K-ICS 보험리스크 평가의 기초가 되는 손해 모형, 총손실분포 계산(판저 재귀가 적용되는 (a,b,0)족 — 포아송·음이항·이항이 그 전부다)이 모두 계수분포의 선택에서 출발한다. 빈도 분포를 무엇으로 두는가는 단순한 통계 취향이 아니라, 요구자본과 위험조정의 크기로 이어지는 재무적 결정이다.
빈도 자료를 받으면 가장 먼저 표본분산/표본평균 비를 본다. 1이면 포아송, 1보다 충분히 크면 음이항(혼합)을 의심하고, 0의 비중이 모형 예측보다 큰지(영과잉) 따로 센다. (a,b,0)족은 k·pₖ/pₖ₋₁을 k에 대해 그려 직선이 되는지로 한 번에 판별할 수 있다 — 기울기 부호가 음이항(+)·포아송(0)·이항(−)을 가른다.