표제어 · 확률·통계

일반화 선형모형 (Generalized Linear Models)

출처: Encyclopedia of Actuarial Science (Wiley, 2004)

읽는 법. 본문은 원문 표제어의 내용을 그대로 옮긴 것입니다. 회색 해설 · 예제 상자는 학부 입문 학습을 돕기 위해 새로 추가한 부분이며, 원문에는 없습니다. 처음 보는 용어는 글 끝 부록(보험·통계 용어 풀이)을 참고하세요.

※ 원문은 11쪽 분량의 개관 논문입니다. 이 해설서는 핵심을 간추린 요약본입니다.

1. 왜 GLM인가 — 보통 회귀의 한계 Why GLM?

계량경제 실무에서 가장 널리 쓰이는 통계기법은 다중 선형회귀다. 그러나 보험계리 통계가 다루는 상황은 이 틀에 잘 맞지 않는다. 회귀분석은 오차가 정규분포를 따르고, 분산이 일정하며, 평균이 설명변수에 대해 선형(가법적)이라고 가정한다. 그런데 ―

클레임 건수는 포아송 분포가 적절한데, 실제 자료는 분산이 평균보다 큰 과산포를 보이는 일이 많다.
클레임 금액의 분포는 오른쪽 꼬리가 두꺼워야 하고, 분산이 일정하기보다는 변동계수(σ/μ)가 일정한 쪽이 자연스럽다.
현상이 설명변수에 대해 가법적인 경우는 드물다. 포트폴리오가 10% 커지면 클레임도 (일정액이 아니라) 10% 더 나야 하므로, 준비금 산정 등에서는 곱셈 모형이 훨씬 그럴듯하다.

한 가지 우회로는 관측값을 변환해 보통 회귀에 맞추는 것이다. 포아송 변수 Y라면 Y^2/3은 왜도를 거의 0으로, Y^1/2은 분산을 안정화하고, log Y는 곱셈적 효과를 가법적으로 바꾼다. 그러나 세 가지를 동시에 만족시키는 변환은 없고, 변환된 척도에서 성립하던 불편성·일치성이 원래 척도로 되돌리면 깨질 수 있다. 이 문제들을 한꺼번에 해결하는 틀이 일반화 선형모형(GLM)이다. 일반화는 두 방향이다. 첫째, 평균 둘레의 확률적 변동이 정규분포가 아니어도 된다 — 지수산포족(정규·포아송·(음)이항·감마·역가우스 포함)이면 충분하다. 둘째, 평균이 설명변수의 선형함수일 필요가 없고, 어떤 척도(링크) 위에서만 선형이면 된다. 척도가 로그라면 곱셈 모형이 된다. GLM은 Nelder & Wedderburn(1972)이 도입했고, 통계 패키지(GLIM, SAS GenMod, S-Plus/R)로 널리 구현되어 있다. 분산분석(ANOVA), 포아송 회귀, 로짓·프로빗 모형이 모두 GLM의 특수경우이며, 베일리–사이먼 요율산정법 같은 전통적 보험계리 기법들도 사실은 특정 GLM의 최대우도 추정과 동치임이 알려져 있다.

해설 GLM은 요율산정의 세계 표준

오늘날 자동차보험·실손보험의 요율 세분화(연령×차종×지역×할인할증…)는 거의 예외 없이 GLM으로 이루어진다. 한국 손해보험 실무에서도 빈도는 포아송(로그 링크), 심도는 감마(로그 링크)로 적합하는 "빈도×심도 GLM"이 표준이고, 계리사 시험의 손해보험 수리 과목에서도 핵심 주제다. 이 표제어(원저자 Rob Kaas)는 GLM의 일반론에 더해, 지급준비금(IBNR) 삼각형의 체인래더법이 사실 포아송 GLM이라는 점을 중심으로 설명한다.

2. GLM의 정의 — 세 가지 구성요소 Definition

(1) 확률적 성분. 관측값 Y₁,…,Y_n은 독립이고, 각 밀도는 지수산포족(exponential dispersion family)에 속한다:

모수 θ는 평균과 연결되고, ψ는 평균에는 영향을 주지 않으면서 분산을 ψV(μ) 꼴로 만든다. b(θ)는 누율함수(cumulant function)라 불리는데, Y의 누율이 κ_j(Y)=b^(j)(θ)ψ^j−1을 만족하기 때문이다. 특히

이고 V(·)를 분산함수라 한다. 보통 ψ_i=φ/w_i로 두는데, φ는 산포모수(dispersion parameter), w_i는 관측 i의 가중치(그 관측이 몇 개의 i.i.d. 관측의 평균인지)다. 보험계리에서 중요한 구성원과 분산함수는 다음과 같다(μ의 거듭제곱이 커지는 순서).

지수산포족의 주요 구성원 (w=1, σ²=V(μ)φ)
분포	분산함수 V(μ)	분산 σ²	특징
정규 N(μ, ψ)	μ⁰=1	φ (등분산)	고전 회귀
포아송(μ)	μ	μ	분산=평균
포아송 배수 ψ×포아송(μ/ψ)	μ	μφ	과산포 포아송 (φ>1)
ψ×이항(1/ψ, μ)	μ(1−μ)	—	1/ψ회 시행의 성공비율
감마(1/ψ, 1/(ψμ))	μ²	μ²φ	변동계수 일정
역가우스	μ³	μ³φ	더 두꺼운 꼬리

분산은 관측의 정밀도를 말해 준다. 포아송에서는 값이 큰 관측일수록 허용되는 적합 오차가 크고, 감마·역가우스는 그 경향이 더 강하다.

(2) 체계적 성분. 각 관측에 설명변수의 선형결합인 선형예측자(linear predictor)를 부여한다:

(3) 링크함수. 평균 μ_i와 선형예측자 η_i를 매끄러운 가역함수 g로 잇는다:

각 분포에는 기술적 장점이 있는 정준 링크(canonical link)가 있다 — 정규는 항등(가법 모형), 포아송은 로그(곱셈·로그선형 모형), 감마는 역수다.

심화 해설 "선형모형"의 두 끝 — 영모형과 포화모형

가장 거친 모형은 상수항만 쓰는 영모형(null model)으로, 모든 변동을 우연으로 돌리고 전체 (가중)평균 하나로 모든 μ_i를 추정한다. 반대 극단인 포화모형(full model)은 관측마다 모수를 하나씩 두어 μ̂_i=Y_i가 된다 — 자료를 그대로 반복할 뿐 아무 구조도 부여하지 않는다. 좋은 모형은 그 사이 어딘가에 있다. 적합도(예측력)와 간결성(관리가능성) 사이의 트레이드오프가 모형선택의 본질이다.

3. 이탈도와 잔차 — 모형의 품질 평가 Deviance and residuals

GLM에서 모형 품질의 기준은 로그우도에 기초한 (척도화) 이탈도(scaled deviance)다. 어떤 모형 세분화가 실제 개선이 아니라는 귀무가설 아래에서, 로그우도 증가분의 −2배는 근사적으로 (추가 추정 모수 개수를 자유도로 갖는) χ² 분포를 따른다. 척도화 이탈도는 두 모형의 우도비 로그의 −2배이고, 이탈도는 여기에 산포모수 φ를 곱한 것이다. 포화모형의 로그우도가 기준점(yardstick) 역할을 하며, 두 중첩 모형의 이탈도 차는 각 모형의 포화모형 대비 이탈도의 차로 계산된다(이런 의미에서 이탈도는 가법적이다). 비교하는 모형들은 (재모수화 후) 모수집합이 중첩되어야 할 뿐 아니라 링크함수와 오차분포가 같아야 한다.

모형이 충분히 좋은지, 어디를 개선해야 하는지는 잔차 — 관측값과 적합값의 차이를 분산함수로 표준화한 것 — 로 살핀다. 보통의 피어슨 잔차도 쓰지만 GLM에서는 각 관측의 최대 로그우도 기여분에 기초한 이탈도 잔차(deviance residual)가 선호된다. 정규분포·항등링크에서는 표준화 잔차 제곱합이 χ² 분포를 따르고 최대우도 차이에 비례하며, 다른 분포에서는 이 양이 적합도 비교의 대안이 된다.

4. 한계총합 방정식과 포아송 최대우도 Marginal totals

보험료 산정의 건전한 방법 중 하나가 한계총합법(method of marginal totals)이다. 발상은 수지상등 원리와 같다 — 좋은 요율체계라면 충분히 큰 위험집단별로 보험료 총액과 관측 손해액이 일치해야 한다. 곱셈 모형 X_ij ≈ α_iβ_j에서 행(i) 또는 열(j)이 같은 집단마다 이 조건을 요구하면, 미지수만큼의 방정식으로 이루어진 한계총합 방정식을 얻는다:

행 총합이 모두 맞으면 전체 총합도 맞으므로 방정식 하나는 잉여이고, 이는 α, β가 곱셈 상수 하나만큼 미정인 것과 대응한다. X_ij가 클레임 건수라면 더 깊은 해석이 있다. 셀 (i,j)의 피보험자 w_ij명 각각의 건수가 포아송(λ_ij), λ_ij=α_iβ_j라 하자. 관측 건수 s_ij에 대한 우도

에 λ_ij=α_iβ_j를 대입해 log L을 α_i, β_j로 최대화하면 정확히 식 (2)가 나온다. 즉 한계총합법 = 포아송 최대우도이고, 행합·열합이 충분통계량이다. 최대우도 방정식의 수치해는 뉴턴–랩슨 반복

의 다차원 버전(헤시안 행렬 필요)으로 구하는데, Nelder–Wedderburn 알고리즘은 헤시안 대신 그 기댓값인 정보행렬을 쓴다(피셔 득점법). 이 반복 한 단계는 가중회귀 문제를 푸는 것과 같다.

예제 1 2×2 곱셈 모형을 한계총합으로 풀기

두 연령군(행)×두 지역(열) 포트폴리오에서 관측 클레임 건수가 y₁₁=20, y₁₂=40, y₂₁=30, y₂₂=90 (모든 셀 w=1)이다. 곱셈 모형 E[X_ij]=α_iβ_j (β₁+β₂=1로 정규화)를 한계총합법으로 적합하라.

행합 R₁=60, R₂=120, 열합 K₁=50, K₂=130, 총합 180. 행 방정식 α_i(β₁+β₂)=R_i에서 α₁=60, α₂=120. 열 방정식 (α₁+α₂)β_j=K_j에서 β₁=50/180=0.278, β₂=130/180=0.722. 적합값은

행합·열합이 관측치와 정확히 일치함을 확인할 수 있다(16.7+43.3=60 등). 이것이 로그 링크 포아송 GLM의 최대우도 적합값이기도 하다. 셀별로는 어긋나도(20 vs 16.7) 한 단계 높은 집계 수준에서는 수지가 맞는다 — 요율산정에서 "공정한 분류요율"의 의미다.

5. GLM과 지급준비금 — 런오프 삼각형의 3요인 모형 Reserving

IBNR(발생했으나 미보고된 클레임) 준비금은 보통 런오프 삼각형으로 추정한다. 행은 사고연도(year of origin) i, 열은 진전연도(development year) j이고, X_ij는 그 조합의 지급액(달력연도 k=i+j−1에 지급됨)이다. 세 시간축은 각각 다른 외생요인을 반영한다 — 사고연도 방향은 포트폴리오 규모의 변화, 진전연도 방향은 클레임 처리·종결 속도의 변화, 대각선(달력연도) 방향은 인플레이션·판례 변경·청구성향 증가다. 이를 모두 담는 곱셈 3요인 모형이

이다. 행·열·대각선 더미변수를 도입하면 E[X_ij]=exp(log α_i+log β_j+log γ_k)인 로그 링크 GLM이 된다. 모수를 추정한 뒤 X̂_ij=α̂_iβ̂_jγ̂_k로 삼각형을 사각형으로 완성하면, 미래 지급액 예측치의 총합이 준비금이 된다(미래 달력연도의 γ_k는 γ_k ∝ γ^k 같은 기하적 외삽으로 보충). 분포 가정에 따라 다음의 전통적 기법들이 그대로 재현된다.

체인래더(chain-ladder) — γ_k≡1, X_ij~포아송(α_iβ_j) 독립. "어느 사고연도든 진전연도별 종결 비율이 같다(열이 비례한다)"는 발상이다.
산술 분리법(arithmetic separation) — α_i≡1, X_ij~포아송(β_jγ_k) 독립. 진전 패턴과 달력연도(인플레이션) 효과로 설명하며, Verbeek(1972)이 처음 기술했다.
기하 분리법(geometric separation) — log X_ij~N(log(β_jγ_k), σ²) 독립. 이때 β_jγ_k는 평균이 아니라 중앙값이다(E[X_ij]=e^σ²/2β_jγ_k).
드 페일더르 최소제곱법(De Vijlder) — γ_k≡1, Σ(X_ij−α_iβ_j)² 최소화. X_ij~N(α_iβ_j, σ²)의 최대우도와 같다.

체인래더 = 포아송 GLM의 풀이. β₁+…+β_t=1로 정규화하면 β_j는 진전연도 j의 종결 비율, α_i는 사고연도 i의 총규모(volume)로 해석된다. §4에서 본 대로 최대우도 추정치는 한계총합(행합 R_i, 열합 K_j) 방정식을 만족하고, 삼각형의 특수한 모양 덕분에 다음과 같이 차례로 풀린다: α̂₁=R₁에서 시작해, α̂₁β̂_t=K_t로 β̂_t를 얻고,

을 n=t−1, t−2, …, 1에 대해 반복한다. 이렇게 얻은 예측은 잘 알려진 체인래더 절차(관측 열합·행합의 비율 곱)와 정확히 일치하며, 삼각형을 대각선에 대해 뒤집어도(사고연도↔진전연도 교환) 같은 결과를 준다. 즉 전통적 체인래더 계산은 독립 포아송(α_iβ_j) 모형의 ML 추정 알고리즘이다. Mack(1993)은 거꾸로 우도를 명시하지 않는 분포-자유(distribution-free) 최소가정 아래에서 같은 계산을 정당화하고 최소분산 불편추정을 추구했다.

6. 수치 사례 — 모형 선택과 이탈도 분석 Worked example

원문은 2000~2007년 8개 사고연도의 지급 건수 런오프 삼각형(Kaas et al. 2001의 예)에 여러 모형을 적합한다. 모두 X_ij~포아송(α_iβ_jγ_i+j−1)을 바탕으로 β_j=β^j−1, γ_k≡1 같은 제약을 가해 축소한 모형들이다. 주요 결과:

모형별 모수·자유도·이탈도 (원문 Table 5 발췌)
모형	모수	자유도	이탈도	평가
I	μ, α_i, β_j, γ_k	15	25.7	가장 풍부, 최선의 적합
II (체인래더)	μ, α_i, β_j	21	38.0	I 대비 기각 안 됨 (Δ=12.3 < χ²₆=12.6)
III (산술분리)	μ, β_j, γ_k	21	36.8	II와 비슷한 적합
VIII	μ, α_i, β₁, β^j−1	26	46.0	승자 — 모수 5개 적은데 II 대비 유의한 악화 없음
IX	μ, αⁱ⁻¹, β₁, β^j−1	32	67.9	모수 4개로 이탈도의 97.4% 설명
XI (영모형)	μ	35	2656	기준점

모형 VIII은 "첫 진전연도만 따로 두고 이후는 기하적 진전 패턴"을 가정한 것으로, 추정 결과는

꼴이다(j≠1은 불리언: 첫 열만 예외 취급). 완성된 사각형에서 사고연도별 미래 지급 예측 합계(준비금)는 2001년 0.8건부터 2007년 398.7건까지, 총 696.8건이다. 모형 VIII의 "설명된 이탈도 비율"은 98%가 넘는다. 과모수화를 피하는 요령으로 원문은 — 모수 다수를 1로 고정하기, 인접 계급 묶기, 순서 있는 분류(연령, 할인할증 등급)는 더미 대신 변량(variate)으로 취급해 기하적 진행 αⁱ⁻¹, β^j−1로 대체하기, 특정 달력연도의 이상 인플레이션은 별도 더미로 처리하기 — 를 제시한다. 다만 세 시간 효과를 모두 기하적으로 두면 모수 간 종속("더미 함정", 다중공선성)이 생기므로 하나는 1로 고정해야 한다.

심화 해설 예측분산 — 준비금의 불확실성

준비금 예측치의 분산 추정은 예측구간 제시를 위해 실무적으로 매우 중요하다. 모형과 모수가 맞다면 분산은 모수 불확실성과 과정 변동성의 합으로 구성된다. 위 예에서 모수를 참값으로 간주하면 연도별 합계는 독립 포아송이므로 과정분산 = 평균 = 696.8, 즉 표준편차 약 26.4건이다. 과산포가 있으면 추정 과산포계수를 곱해야 하고, 실제로는 추정평균의 변동까지 더해야 한다. 빈도(건수)에는 체인래더(포아송, 사고연도×진전연도)가 적절하지만, 클레임 금액에는 포트폴리오 규모 α_i가 무의미한 대신 인플레이션(달력연도)이 중요하므로 분리법이 더 알맞다는 것이 원문의 결론이다.

참고 및 관련 표제어

관련 표제어. Bailey–Simon Method(베일리–사이먼 방법) · Regression Models for Data Analysis(자료분석을 위한 회귀모형) · Reserving in Non-life Insurance(손해보험 지급준비금) · Discrete Parametric Distributions(이산 모수분포) · Continuous Parametric Distributions(연속 모수분포) · Maximum Likelihood(최대우도) · Compound Poisson Frequency Models(복합 포아송 빈도모형) · Bonus–Malus Systems(할인할증제도)

원문 참고문헌(발췌). Nelder & Wedderburn, JRSS A 135 (1972) · McCullagh & Nelder, Generalized Linear Models (Chapman & Hall, 1989) · Kaas, Goovaerts, Dhaene & Denuit, Modern Actuarial Risk Theory (Kluwer, 2001) · Taylor, Claims Reserving in Non-Life Insurance (North Holland, 1986) · England & Verrall, BAJ 8 (2002) · Verbeek, ASTIN Bulletin 6 (1972) · Mack, ASTIN Bulletin 23 (1993) · Doray, IME 18 (1996).

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

지수산포족 (exponential dispersion family) — 밀도가 exp{(yθ−b(θ))/ψ+c(y;ψ)} 꼴인 분포족. GLM의 오차분포 후보.
링크함수 (link function) — 평균 μ와 선형예측자 η를 잇는 가역함수 g: η=g(μ). 로그 링크면 곱셈 모형.
정준 링크 (canonical link) — θ=η가 되게 하는 링크. 정규=항등, 포아송=로그, 감마=역수.
산포모수 φ (dispersion parameter) — 평균과 무관하게 분산 크기를 조절하는 모수. 과산포 포아송에서 φ>1.
이탈도 (deviance) — 포화모형 대비 우도비 로그의 −2배(×φ). 중첩 모형 비교의 χ² 통계량.
런오프 삼각형 (run-off triangle) — 사고연도×진전연도로 집계한 지급액 표. 준비금 추정의 기본 자료.
체인래더 (chain-ladder) — 열들이 비례한다고 보고 삼각형을 완성하는 고전 기법. 포아송 GLM의 ML과 동치.
분리법 (separation method) — 진전연도×달력연도 효과로 설명하는 준비금 기법. 인플레이션 반영에 유리.
IBNR — 발생했으나 아직 보고되지 않은 클레임(incurred but not reported). 이를 위한 준비금이 IBNR 준비금.
충분통계량 (sufficient statistic) — 모수 추정에 필요한 정보를 모두 담은 통계량. 포아송 곱셈모형에서는 행합·열합.
피셔 득점법 (Fisher scoring) — 뉴턴–랩슨에서 헤시안 대신 정보행렬을 쓰는 ML 알고리즘. 가중회귀 반복과 동치.
더미 함정 (dummy trap) — 더미변수들이 선형종속이 되는 다중공선성 문제. 기준 수준 고정으로 해결.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

GLM은 한국 손해보험 요율산정의 사실상 표준 방법론이다. 자동차보험에서 연령·차종·지역·운전경력 같은 요율변수의 상대도를 산출할 때 빈도는 포아송(로그링크)·심도는 감마(로그링크)로 적합하는 빈도–심도 분해가 교과서적 구성 그대로 쓰이고, 로그링크의 곱셈 구조가 "기본보험료 × 요율변수별 계수"라는 국내 요율서 체계와 자연스럽게 맞아떨어진다. 보험개발원의 참조순보험요율 산출과 회사별 자체 요율 분석, 장기보험 위험률 차등화 분석도 같은 틀 위에 있다.

본문이 강조한 "정규·등분산·가법성 가정의 탈피"는 국내 데이터에서 단순한 이론적 우아함이 아니다. 클레임 심도는 오른쪽으로 길게 치우치고 분산이 평균과 함께 커지므로(감마형), 빈도는 음이 아닌 정수에 과대산포까지 얹혀 있으므로(포아송·음이항형), 보통 회귀를 쓰면 큰 계약·고위험 구간에서 체계적으로 틀린다. 오프셋(노출 기간), 과산포 보정, 교호작용 항 처리 같은 GLM의 부속 장치들이 실무 분석의 일상 어휘가 된 이유다.

최근의 긴장 관계는 머신러닝과의 분업이다. GBM류 모형이 예측력에서 GLM을 앞서는 경우가 많지만, 요율은 소비자·감독당국에 설명 가능해야 하므로 "탐색·변수 발굴은 머신러닝으로, 최종 요율 구조는 GLM으로"라는 절충이 국내에서도 일반적 흐름이다. IFRS17 가정 산출(해지율·손해진전), K-ICS 기초 통계 분석에서도 GLM은 기본 도구이며, 사망률 평활·경험률 차등화처럼 생명보험 쪽 응용도 넓다. 본문의 유사우도(quasi-likelihood) 논의는 "분포 전체를 다 믿지 않아도 평균–분산 관계만 맞으면 추정이 성립한다"는 실무적 면죄부로 기억해 둘 만하다.

실무 링크·오프셋·과산포 — 사고 나는 곳은 정해져 있다

GLM 검증에서 가장 자주 발견되는 오류 세 가지: ① 노출(경과 익스포저)을 오프셋이 아니라 설명변수로 넣는 것, ② 빈도 모형의 과대산포를 무시해 표준오차를 과소평가하는 것(변수가 실제보다 유의해 보인다), ③ 요율변수 간 강한 상관(다중공선성)을 두고 계수를 개별 해석하는 것. 모형 식보다 이 세 가지 점검이 결과의 신뢰를 좌우한다.

[한국보험시장 현황]은 한국 보험시장 실무 관점(2026.6 기준)에서 추가 작성한 것임. · 원문: Encyclopedia of Actuarial Science (Wiley, 2004), “Generalized Linear Models”, Rob Kaas. · 본 해설서의 [해설]·[예제]·[부록]은 학부 입문 학습용으로 추가·구성한 것임. 수식은 원문 기준 복원.