자료분석을 위한 회귀모형

1. 들어가며 Introduction

보험계리학은 재무적 안전망(financial security systems)을 정량적으로 평가하는 학문이다. 이러한 정량적 평가는 자료(data)로 보정(calibrate)된 모형에 기반한다. 따라서 자료분석(data analysis)은 보험계리 모형을 응용하는 토대 중 하나다.

재무적 안전망의 여러 측면을 살펴보기 위한 모형은 많다. 회귀모형(regression model)은 보험계리학뿐 아니라 다른 사회과학 분야에서도 널리 쓰인다. 회귀분석은 응용 통계모형의 한 종류로, 그 모형 가정은 표본추출 이론(sampling theory)에 뿌리를 둔다. 가정이 특정 사회과학(또는 자연과학) 분야의 이론에 묶여 있지 않기 때문에, 이 모형은 여러 분야에 폭넓게 적용되어 왔다. 또한 뒤의 '연관성' 절에서 보듯, 회귀모형의 일부 확장형이나 특수형은 보험계리학의 구체적 문제에 특히 잘 들어맞는다.

회귀모형의 중요성은 학술 문헌만 보아도 알 수 있다. 예를 들어 경영학 학술지 색인 ABI/INFORM에는 1960–1990년 사이 회귀기법을 사용한 논문이 2만 2천 편 넘게 수록되어 있다. 그것도 학술지에 실릴 만큼 충분히 새로웠던 응용만 모은 수치다.

오늘날 회귀분석이 너무도 널리 쓰여서, 그 방법론이 등장한 지 겨우 100여 년밖에 안 되었다는 사실을 잊기 쉽다. 학자들은 회귀(regression)의 탄생을 1885년 프랜시스 골턴(Sir Francis Galton)이 영국 과학진흥협회 인류학 분과에서 행한 회장 연설에서 찾는다. 골턴은 그 연설에서 회귀를 설명하고 이를 정규곡선 이론과 연결했다. 그의 발견은 자연선택과 유전의 성질을 연구하던 중에 나온 것이다.

2. 모형의 정의 Model Description

회귀모형은 일종의 다변량(multivariate) 통계모형으로 해석할 수 있다. 한 개체(사람·기업·대상), 즉 관측 단위(unit of observation)에 대해 여러 특성을 관측한다고 하자. 회귀에서는 그중 관심 있는 특성 하나를 y로 두고, 나머지 특성들을 벡터 x로 둔다. 우리의 관심은 x의 정보를 바탕으로 한 y의 분포에 있다.

구체적으로, i번째 개체의 반응을 y_i라 하자. 각 반응 y_i에는 설명변수(explanatory variable, 공변량 covariate)의 집합이 따라온다. 간단히 하기 위해, 개체마다 달라질 수 있는 K개의 설명변수 x_i,1, x_i,2, …, x_i,K가 있다고 가정한다. 이를 K×1 열벡터 x_i로 묶으면 표기가 간결해진다.

변수들 사이의 관계를 분석하기 위해, 반응과 설명변수의 관계를 회귀함수(regression function)로 요약한다.

이 식은 모수 β에 대해 선형(linear)이다.

여기서 E는 기대값(expectation) 연산자, 아래에서는 Var를 분산(variance) 연산자로 쓴다. 설명변수가 비확률적(nonrandom)인 응용에서는 이 식 (1)이 요구하는 유일한 제약은 변수들이 선형으로 들어간다는 것뿐이다. 설명변수가 확률적(random)인 응용에서는 식 (1)의 기대값을 관측된 설명변수에 조건부(conditional)인 것으로 해석한다.

관측가능량 표현 Observables representation

'관측가능량 표현(observables representation)'은 조건부 선형기대(conditional linear expectation)의 발상에 기초한다. (x_i, y_i)를 모집단에서 뽑은 한 표본으로 보면, x_i가 주어졌을 때 y_i의 조건부분포의 평균이 설명변수들에 대해 선형이라고 생각할 수 있다(가정 F1). y의 분포에 대한 추론은 관측된 설명변수에 조건부이므로, {x_i,1, …, x_i,K}를 비확률적 변수로 다룰 수 있다.

표본추출 방식으로는 층화확률추출(stratified random sampling)을 생각하면 편리하다. x_i,1, …, x_i,K의 값들을 층(strata)으로 보고, 각 층의 값마다 모집단에서 반응의 확률표본을 뽑는 것이다. 이 추출방식은 반응들 사이의 독립성(가정 F4)에 대한 동기도 제공한다.

오차 표현 Error representation

'오차 표현(error representation)'은 가우스의 오차이론(Gaussian theory of errors)에 기초한다. 선형회귀함수는 독립변수들의 정보를 Ey_i = x_i^tβ의 관계로 담는다. y의 측정에 영향을 주는, 관측되지 않는 다른 변수들은 모두 오차항(error term) ε_i(교란항 disturbance라고도 함)에 담긴다. 오차는 다음과 같이 정의된다.

오차들의 독립성(가정 F4)은 ε_i가 미지의 오차 모집단에서 단순확률추출로 얻어졌다고 가정하면 정당화된다. 가정 E1–E4는 관측가능량 표현의 가정 F1–F4와 동치다. 오차 표현은 적합도(goodness of fit) 척도를 끌어내는 좋은 출발점이 되지만, 관측 가능한 양 (x_i, y_i)에서 관측 불가능한 양 ε_i로 관심을 돌린다는 단점이 있다.

i.i.d. 관측과 확률적 설명변수 i.i.d. observables, SE1–SE4

또 다른 해석으로, 관측가능량 (x_i, y_i)을 i.i.d.(독립이고 동일분포)로 보는 방법이 있다. 단순확률추출로 조사자료를 모은 경우가 이에 해당한다. 이때는 확률적 설명변수에만 조건을 걸어 반응의 적률을 쓰면 된다. 회귀함수는 E(y_i|x_i) = x_i^tβ, 조건부분산은 Var(y_i|x_i) = σ²로 쓴다. 더 일반적인 추출방식을 다루려면 표본 안의 모든 설명변수에 조건을 거는데, X = (x₁, …, x_n)로 두고 가정 SE1–SE4를 쓴다.

최소제곱추정 Least squares estimation

회귀계수를 추정하는 방법은 다양하지만, 가장 널리 쓰이는 것은 최소제곱법(method of least squares)이다. 이 방법은 1805년 그 사용을 발표한 아드리앵 르장드르(Adrien Legendre)에게 일반적으로 귀속되며, 거의 같은 시기인 1809년 카를 가우스(Carl Gauss)가 천문 관측 예측에 이를 적용해 보였다. 최소제곱추정량 b는 잔차제곱합을 최소로 하는 값으로 정의된다.

이 추정량은 불편성(unbiasedness) 등 바람직한 성질을 가진다. 또한 가정 SE1–SE4 아래에서는 반응에 대해 선형인 모든 추정량 가운데 분산이 가장 작다 — 이것이 잘 알려진 가우스–마르코프(Gauss–Markov) 정리다. 흥미롭게도 가정 SE1–SE4는 고정 설명변수 모형의 가정을 확률적 설명변수로 일반화한 적절한 형태로, 보통최소제곱(OLS) 추정량의 바람직한 성질을 대부분 보존한다.

3. 모형화 과정 The Modeling Process

대부분의 조사에서 모형을 만들어 가는 과정은 그 결과로 얻은 모형만큼이나 유익하다. 이 과정은 막연한 생각을, 그것을 밝혀줄 자료와 연결하는 일에서 시작한다. 복잡한 환경을 이해하기 위해 가용한 수치 정보를 기꺼이 요약하려는 태도를 통계적 사고(statistical thinking)라 부른다. 통계적 사고는 자료를 모으고 분석할 것을 요구하며, 이는 '책상머리 브레인스토밍'보다 더 큰 노력을 들이지만, 신중한 자료분석에서 나온 추론은 강력해서 회의적인 사람조차 설득해낸다.

모형을 정하는 한 방법은 자료를 그래프로 살펴보고, 모형 구조를 가정하고, 자료와 후보 모형을 비교하여 더 나은 모형을 만드는 것이다. 박스(Box)는 이를 반복적 과정(iterative process)으로 묘사했다. (1) 모형 설정 단계: 자료를 그래프로 살피고 사전지식(예: 경제이론)을 이용한다. (2) 가정 검토: 설정한 모형의 가정이 자료와 일관되어야 모형을 타당하게 쓸 수 있다. (3) 진단 점검(diagnostic checking): 세상에 대한 추론을 하기 전에 자료와 모형을 검증한다 — 앞 단계의 실수를 드러내고 고치는 방법을 알려주는 중요한 과정이다.

또 다른 접근은 사전이론에 크게 의존하는 것이다. 위험관리 비용효율성 예에서라면, 선행연구 결과에 따라 명시된 변수를 모두 포함하는 것이 적절하다고 주장할 수 있다. 이 관점에서는 자료를 그래프로 미리 살피는 것이 통계 검정에 편향(bias)을 불러올 수 있다고 본다.

4. 모형 추론 Model Inference

모형 추론(model inference)은 모형화 과정의 마지막 단계다. 모형의 행동을 연구함으로써 현실세계에 대해 무언가를 배우고자 한다. 모형은 현실에 질서를 부여하고, 그 질서의 성격을 통해 현실을 이해하는 토대를 제공한다. 또한 통계모형은 한 표본에서 얻은 자료로 추론하므로, 표본 밖 관측의 행동을 예측하는 중요한 길잡이가 된다.

이해를 위한 모형 활용 Using Models for Understanding

설명변수의 중요성. 회귀함수 (1)의 한 해석은 기대반응 y가 K개 변수의 선형결합이라는 것이다.

여기서 모수 β_j는 변수 x_j가 기대반응에 기여하는 양을 조절한다. 예컨대 y를 한 증권의 수익률, x_j를 시장지수 수익률로 두면, 이는 재무경제학에서 널리 쓰이는 자본자산가격결정모형(CAPM)의 한 형태가 된다. 이때 증권의 '베타(beta)'의 방향과 크기를 이해하는 것이 핵심이다.

가설 검정. 회귀계수에 대한 형식적 가설검정을 하고 싶을 때가 있다. 다른 조건이 같을 때, 회귀함수에서 β_j = 0이면 j번째 변수가 반응에 영향을 주지 않는다. 따라서 β_j = 0이라는 가설을 검정하려고 다음 검정통계량(t-통계량)을 만든다.

여기서 se(b_j)는 b_j의 표준오차다. 이 t-통계량은 자유도 n−p의 t-분포와 비교하며, (절대값이) 크면 β_j = 0 가설을 부정하는 증거가 된다.

신뢰구간. 모수의 신뢰구간(confidence interval)은 설명변수 기여의 신뢰도를 나타내는 또 다른 장치로, 추정량의 신뢰성을 가늠하기 위해 자주 인용된다.

성과 평가. 어떤 조사에서는 특정 관측이 다른 관측들과 '맞아떨어지는지'를 보는 것이 주목적이다. 예컨대 성별 형평성 연구에서, 비슷한 특성(직급·경력·분야 등)을 가진 다른 교수들과 비교해 어떤 여성 교수의 봉급(y)이 적정한지 알고 싶을 수 있다. 이때는 비정상적으로 크거나 작은 잔차(residual)가 주요 관심 통계량이 된다.

예측을 위한 모형 활용 Using Models for Prediction

회귀모형의 또 다른 주된 동기는 자료 밖 반응의 행동에 대한 추론이다. 통계학의 관행에 따라, 미관측 반응의 행동을 가늠하는 것을 예측(prediction)이라 부른다(모수는 '추정'하고, 미관측 반응 같은 확률변수는 '예측'한다). 시계열 맥락에서 미관측 반응이 미래에 있을 때는 예측 대신 예보(forecasting)라는 용어를 쓴다.

모형 해석 Model Interpretation

회귀모형은 언제나 틀린다. 모든 모형이 그렇듯, 회귀모형도 현실세계 관계보다 훨씬 단순하게 설계된 근사(approximation)일 뿐이다. 조지 박스(George Box)의 말처럼 "모든 모형은 틀렸지만, 일부는 유용하다." 회귀모형화, 특히 모형 개발은 통계의 기예(art)에 속하며, 통계는 '자료로 추론하는 기술'이라 할 수 있다.

경영적 관점에서 중요한 규칙 하나: 그래프 분석은 자료분석가의 처음이자 마지막 작업이다. 세상은 비선형인데 모형은 선형(또는 좁은 의미의 비선형)이므로, 모형 조건의 위반을 알아채야 한다. 그런 위반은 비선형으로 나타날 수 있어, 그래프적 방법이 가장 쉬운 탐지 수단이다. 히스토그램·산점도 같은 그래프 요약을 만드는 일이 분석가가 가장 먼저 해야 할 일이다.

5. 연관성 Connections

회귀방법은 설명변수를 이용해 또 다른 변수를 이해·예측하는 일로, 변수들 사이의 관계를 평가하는 통계과학이다. 앞 절들은 기본(기초) 회귀모형을 제시했다. 실무(보험계리 실무 포함)에 유용한 확장형이 많다.

• 로지스틱 회귀(logistic regression) — 이항 반응을 다루며 베르누이 분포에 적합하다.
• 일반화선형모형(generalized linear model, GLM) — 정규·베르누이 외의 분포까지 포함하는 회귀모형의 확장이다.
• 혼합선형모형(mixed linear model) — 계수를 고정값이 아니라 확률변수로 보면 얻어지며, 신뢰도이론(credibility theory)과 특별한 연관이 있다. 계수의 분포 정보가 더 있으면 베이즈 통계(Bayesian statistics)로 추정할 수 있다.
• 시계열모형(time series) — 기본 회귀가 횡단면 관측을 다루는 데 비해, 시계열모형은 회귀기법을 광범위하게 활용한다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 회귀함수 (regression function) — 설명변수가 주어졌을 때 반응의 기대값을 나타내는 함수 Ey = x^tβ.
• 반응변수·설명변수 (response / explanatory variable) — 설명하려는 대상 y와, 그것을 설명하는 변수들 x(공변량).
• 최소제곱법 (least squares) — 잔차제곱합을 최소로 하여 회귀계수를 추정하는 방법.
• 가우스–마르코프 정리 (Gauss–Markov theorem) — 일정 가정 아래 OLS 추정량이 선형불편추정량 중 분산이 최소임을 보이는 정리.
• 불편성 (unbiasedness) — 추정량의 기대값이 참 모수와 같은 성질.
• t-통계량 (t-statistic) — 추정계수를 그 표준오차로 나눈 값. 계수의 유의성 검정에 쓰임.
• 잔차·오차 (residual / error) — 관측 반응과 모형 예측값의 차이(ε_i). 적합도와 성과평가의 핵심.
• 층화확률추출 (stratified random sampling) — 설명변수 값을 층으로 나누어 각 층에서 표본을 뽑는 방식.
• 진단 점검 (diagnostic checking) — 추론 전 모형 가정과 자료의 일관성을 검증하는 단계.
• 일반화선형모형 (GLM) — 정규분포를 넘어 다양한 분포의 반응을 다루는 회귀의 확장.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

회귀모형은 한국 손해보험 요율 산정의 핵심 도구다. 자동차보험 참조순보험요율은 보험개발원이 GLM(일반화선형모형)으로 산출하며, 피설명변수인 사고 빈도와 심도에 각각 포아송·감마 분포를 가정한 로그 연결 GLM이 표준이다. 여기서 설명변수는 차령, 차종, 보험가입경력, 사고 이력 등 수십 개에 달하며, 이 회귀계수들이 등급별 보험료 구조(할인·할증표)의 수량적 근거가 된다. 참조요율은 금융감독원 감독을 받으며, 회귀모형의 적합도 지표와 변수 유의성 검정 결과가 공시 자료에 포함된다.

IFRS17 계리적 가정 산출에서도 회귀분석이 폭넓게 쓰인다. 해지율 가정은 금리 차이, 납입 경과 기간, 계약 규모 등의 함수로 추정하며, 이는 사실상 로지스틱 회귀 또는 Cox 비례위험 회귀다. 무·저해지환급형 해지율 가이드라인(2024) 적용 이후, 해지율 설명력이 낮은 구간(소집단·신담보)에 대한 회귀모형 신뢰구간 표시가 감독 당국의 검증 사항이 됐다.

실손보험 갱신 보험료 산출에서는 청구 이력을 설명변수로 포함한 GLM을 통해 갱신 보험료 차등을 설계한다. 5세대 실손(2026.5 출시)의 비중증 비급여 자기부담 50% 구조에서, 청구 심도의 분포가 자기부담 도입 전후로 구조적 변화를 겪을 것으로 예상되며 이를 포착하는 회귀모형 재추정이 요율 개발의 현재진행형 과제다.