재표본추출 (Resampling)

1. 배경 — 왜 재표본추출인가 Background

재표본추출(resampling) 방법은 컴퓨터 성능의 증가 덕분에 통계학에서 인기를 얻었다. 얼마 전까지 대부분의 통계 연구는 필요한 공식을 종이와 연필로 유도하는 해석적 방법을 썼지만, 컴퓨터는 그 대신 재표본추출을 포함한 시뮬레이션 방법을 가능하게 했다(베이즈 통계에서 MCMC의 등장과 비슷한 흐름이다). 재표본추출은 신뢰구간, 분위수 추정, 가설검정, 편향 평가 등 매우 넓은 영역에서 쓰인다.

독립 관측 표본 x₁, x₂,…,x_n이 있고, 모수 θ의 추정량 θ̂의 표집분포(sampling distribution)가 필요하다고 하자. 정공법은 자료 분포를 가정(예: 정규)하고 분포를 직접 유도하는 것이지만, 그것이 어려울 때의 대안이 시뮬레이션 — 특히 표본 자신에서 값을 다시 뽑는 방법이다. 통계량의 분포를 "재표본추출된" 분포로, 모수의 참값을 표본값으로 대체하는 것이 기본 아이디어다.

2. 잭나이프 The jackknife

최초의 재표본추출형 방법은 잭나이프(Quenouille 1956)다. 원표본에서 관측값을 하나씩 빼서 n−1개짜리 표본 n개를 만든다. i번째 잭나이프 표본은

이고, 이 n개 표본으로 추정량 θ̂의 성질을 조사한다. 예컨대 편향의 잭나이프 추정은

이다(θ̂_(i)는 i를 뺀 표본의 추정값). 잭나이프는 보험계리 문헌에서는 많이 쓰이지 않았다(Ashe 1986, Taylor 1988이 예외).

3. 붓스트랩 The bootstrap

더 중요한 것은 붓스트랩(Efron 1979)으로, 근래 보험계리 문헌 일부 영역에서 인기를 얻기 시작했다. 잭나이프처럼 원자료에서 값을 재추출해 의사자료(pseudo-data) 표본을 만들지만, 방식이 다르다 — 자료에서 복원추출로 무작위 표본을 뽑는다. 절차는:

• x₁,…,x_n에서 복원추출한 n개 값으로 붓스트랩 표본 x*를 만든다.
• 이를 B번 반복해 x*¹, x*²,…,x*^B를 얻고, 각각에서 관심 통계량 θ̂*^b를 계산한다.
• θ̂*¹,…,θ̂*^B의 경험분포에서 통계량의 성질(표준오차, 분위수, 신뢰구간 등)을 추정한다.

예컨대 추정량 θ̂의 표준오차의 붓스트랩 추정은 붓스트랩 복제값들의 표본 표준편차다:

예제 손으로 따라가는 미니 붓스트랩

클레임 3건 {1, 2, 6}(백만 원)에서 평균 손해액 θ̂=x̄=3의 표준오차를 붓스트랩으로 추정해 보자. B=5회의 복원추출 결과가 (1,2,6), (2,6,6), (1,1,2), (6,2,1), (2,2,6)이라 하자.

편차 제곱합 = (−0.07)²+(1.60)²+(−1.74)²+(−0.07)²+(0.26)² ≈ 5.66 이므로 se ≈ √(5.66/4) ≈ 1.19. 해석적 공식 s/√n = 2.65/√3 ≈ 1.53과 같은 차원의 답을, 분포 가정 없이 얻었다. 실전에서는 B=1,000~10,000을 쓰며, 표준오차뿐 아니라 θ̂*의 2.5%·97.5% 분위수로 백분위수 신뢰구간도 바로 만들 수 있다.

4. 회귀형 문제 — 잔차를 붓스트랩한다 Bootstrapping residuals

보험계리 응용은 대부분 회귀형 문제이므로, 자료 자체가 아니라 (적절히 정의한) 잔차를 붓스트랩하는 것이 보통이다. 정규 오차 선형회귀라면 잔차는 단순히 관측값−적합값이다. 계리 응용은 일반화 선형모형(GLM)을 더 자주 쓰므로 이탈도(Deviance)·피어슨(Pearson)·앤스컴(Anscombe) 잔차처럼 정규이론 잔차의 성질을 (근사적으로) 갖는 잔차를 쓴다. 절차는:

• 모형을 적합하고 잔차를 계산한다.
• 잔차에서 복원추출한 뒤, 잔차 공식을 역산(invert)해 붓스트랩 자료 표본을 만든다.
• 모형을 다시 적합하고 관심 통계량을 계산한다.
• 이를 충분히 여러 번 반복해 통계량의 표집 성질을 조사한다.

5. 응용 — 클레임 준비금의 예측오차 Claims reserving

붓스트랩의 힘을 보여 주는 응용이 클레임 준비금(claims reserving)이다. 준비금 추정치의 예측오차를 해석적으로 구하는 일은 꽤 복잡해 통계 패키지의 신중한 프로그래밍이 필요하지만(England & Verrall 2002), 붓스트랩은 체인래더 기법에 스프레드시트만으로 적용할 수 있다 — 체인래더를 적합해 잔차를 얻고, 이를 재추출·역산해 의사 클레임 삼각형을 만들고, 다시 체인래더를 적용해 붓스트랩 준비금 추정치를 얻는다. 반복하면 준비금 추정치의 붓스트랩 분포가 나온다.

다만 주의할 점이 많다. 붓스트랩 표준오차는 추정분산의 제곱근의 추정치인데, 모형 적합에 쓰인 모수 개수를 감안하지 않으므로 해석적 결과와 직접 비교할 수 없다 — 산포모수를 자유도가 아니라 자료 개수로 나눠 계산한 것과 같은 상태다. 제대로 비교하려면 모수 개수를 반영하는 보정을 붓스트랩 추정분산에 가해야 한다.

Derrig, Ostaszewski & Rempala(2000)가 보험계리에서의 붓스트랩을 개관한다. 계리 문헌의 응용 분야로는 클레임 준비금(England–Verrall, Taylor, Lowe, Kirschner 등), 파산 문제(Frees 1986; Hipp 1989), 금융(장기 수익률 — Carriere 1999; 효율적 투자선 — Scheel et al. 2001), 극단값 이론(모수 불확실성 — Mata 2000) 등이 있다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 표집분포 (sampling distribution) — 표본을 반복 추출했을 때 통계량이 갖는 분포. 표준오차·신뢰구간의 원천.
• 복원추출 (sampling with replacement) — 뽑은 값을 되돌려 놓고 다시 뽑는 방식. 같은 관측이 여러 번 뽑힐 수 있다.
• 의사자료 (pseudo-data) — 재표본추출로 만들어 낸 인공 표본. 원자료의 경험분포에서 나온 것으로 취급한다.
• 편향 (bias) — E[θ̂]−θ. 잭나이프·붓스트랩의 고전적 추정 대상.
• 피어슨/이탈도 잔차 — GLM에서 분산함수·우도 기여분으로 표준화한 잔차. 붓스트랩 재료로 쓰인다.
• 체인래더 (chain-ladder) — 런오프 삼각형의 열 비례성을 이용해 준비금을 추정하는 표준 기법.
• 예측오차 (prediction error) — 추정분산(모수 불확실성)과 과정분산(미래의 무작위성)을 합친 미래값 오차.
• 산포모수와 자유도 보정 — 붓스트랩 분산은 모수 개수를 무시하므로 n/(n−p) 류의 보정이 필요하다.
• MCMC — 마르코프 연쇄 몬테카를로. 베이즈 사후분포에서 표본을 만드는 시뮬레이션 기법.
• 백분위수 신뢰구간 (percentile interval) — 붓스트랩 복제값들의 α/2, 1−α/2 분위수로 만드는 구간.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

한국 계리 실무에서 재표본추출이 가장 단단히 자리 잡은 곳은 지급준비금의 변동성 평가다. 진전삼각형에 체인래더를 적합한 뒤 잔차를 부트스트랩하는 ODP 부트스트랩은 준비금 추정치의 분포 — 점추정이 아니라 불확실성의 폭 — 를 주는 표준 기법으로, IFRS17 위험조정(RA) 산출(신뢰수준 방식이면 분위수가 직접 필요하다)과 K-ICS 준비금리스크의 자체 검증, 계리적 의견서의 적정성 범위 제시에 두루 쓰인다. 해석적 공식(Mack 방법)과 병행해 결과를 교차 확인하는 것이 통상의 관행이다.

그 밖의 응용도 본문이 열거한 자리들과 같다. 경험위험률·해지율 추정치의 신뢰구간(특히 관측이 적은 고연령·신담보 구간), GLM 요율 계수의 표준오차 검증, 극단값 분석에서 꼬리지수 추정의 불확실성 평가처럼 "공식 유도가 어렵거나 가정이 의심스러운" 추정량의 분산을 컴퓨터로 대신 구하는 일이다. 컴퓨팅 비용이 더 이상 제약이 아니게 된 환경 변화도 본문의 서술 그대로 — 수만 회 재표본은 노트북에서도 몇 분의 일이다.

주의점은 부트스트랩이 "가정으로부터의 해방"이 아니라는 사실이다. ODP 부트스트랩의 결과는 잔차의 교환가능성 등 기반 모형 가정에 의존하므로, 잔차에 추세·이분산이 남아 있으면(국내에서는 제도 변화 — 예: 보험금 지급 기준 개정 — 가 흔한 원인이다) 재표본된 분포 전체가 왜곡된다. 또한 부트스트랩은 표본에 없는 극단을 만들어 내지 못하므로, 꼬리 분위수가 목적이라면 모수적 부트스트랩이나 극단값 이론과의 결합이 필요하다. "시뮬레이션 횟수보다 잔차 진단이 먼저"가 국내 검증 실무의 격언이다.