점 과정 (Point Processes)

1. 개요 Introduction

점 과정(point process)은 시간(또는 공간)에 흩어진 사건의 위치(점)들의 무작위 배치를 다룬다. 보험에서는 청구가 발생하는 시점들을 모형화하는 데 쓰인다. 영역 B에 떨어지는 점의 개수 N(B)로 과정을 기술한다.

2. 포아송 점 과정 Poisson Point Process

가장 기본은 포아송 점 과정이다. 서로 겹치지 않는 영역들에 대한 점 개수가 독립이고, 각 영역 B의 점 개수가 포아송 분포를 따른다.

여기서 |B|는 영역의 크기, λ는 강도(intensity)다. E·N([0,t]) = λt이고, 분산도 같다(Var=평균). 청구 시점 모형의 출발점이다.

3. 변형 — 갱신·솎음·이동·혼합 Variants

• 갱신 점 과정(renewal) — 점 사이 간격 T_i가 i.i.d.인 과정. 첫 간격만 다르면 지연갱신.
• 솎음(thinning) — 각 점을 확률 p로 남기고 나머지는 버림. 포아송(λ)을 솎으면 포아송(pλ).
• i.i.d. 이동(shifting) — 각 점 τ_n을 무작위로 τ_n+X_n으로 옮김. 포아송은 이동해도 같은 강도의 포아송.
• 혼합 포아송(mixed Poisson)·Cox 과정 — 강도 λ 자체를 무작위(이중확률적)로 둠.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 점 과정 (point process) — 무작위로 흩어진 사건 시점(점)들의 모임.
• 강도 (intensity) λ — 단위 시간·공간당 점의 평균 개수.
• 포아송 점 과정 — 독립·일정 강도의 가장 기본적인 점 과정.
• 갱신 과정 (renewal) — 점 사이 간격이 i.i.d.인 과정.
• 솎음 (thinning) — 점을 확률적으로 골라 남기는 연산.
• 혼합 포아송·Cox 과정 — 강도가 무작위인 이중확률적 포아송.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

점과정의 추상 이론은 한국 실무에서 "사고가 언제, 얼마나 몰려서 오는가"라는 질문으로 번역된다. 가장 단순한 균질 포아송 과정은 자동차·일반보험의 기본 빈도 가정으로 일상화되어 있고, 본문의 확장들 — 비균질 포아송, 혼합(Cox) 과정, 군집 과정 — 도 각각 대응되는 실무 장면이 있다. 계절·요일·시간대에 따라 사고 강도가 변하는 자동차 사고는 비균질 포아송으로, 운전자별 위험 성향의 이질성은 혼합 포아송(음이항)으로, 태풍·집중호우 때 청구가 한꺼번에 몰리는 현상은 군집(cluster) 과정의 관점으로 해석한다.

특히 대재해 분석에서 점과정 사고방식이 유용하다. 태풍 시즌(7~9월)에 사건 발생이 몰리고 한 사건이 수만 건의 청구를 낳는 구조는 "사건 과정(parent) 위에 청구 과정(offspring)이 얹힌" 이중 구조이며, 국내 풍수해 損 통계나 Cat 모형의 사건 세트(event set)가 바로 이 관점으로 만들어진다. 재보험의 사고 정의(any one event, 72시간 조항 등)도 결국 "점들을 어떻게 한 사건으로 묶을 것인가"라는 점과정의 문제다.