정상과정 (Stationary Processes)

1. 기초 Basics

확률과정 X(t)가 (강하게) 정상(stationary)이라 함은 모든 유한차원분포가 시간 이동에 불변이라는 것이다 — 즉 (X(t₁),…,X(t_n))의 분포가 (X(t₁+τ),…,X(t_n+τ))의 분포와 모든 τ에 대해 같다. 공간 좌표가 다변수이면 동질 확률장(homogeneous random field)이라 부른다.

2. 세 가지 부류 Three Groups

• (가) Fourier 방법 — 무작위 위상의 주기함수 합. 위상 φ_k가 [0,2π]에서 독립·균등이면 정상이다: X(t)=∑A_kcos(ω_kt+φ_k).
• (나) 시계열·Itô 미적분 — 확률요소를 가진 차분·미분 방정식의 해. AR·MA·ARMA, 연속시간의 Ornstein–Uhlenbeck 과정이 대표적이다.
• (다) 국소 의존 — shot-noise형(무작위 시점에서 시작하는 함수 합)이나 wavelet 분해 과정.

예컨대 이산시간 AR(1) 과정은 |θ|<1, 독립 정규 혁신 E_t로 정의된다.

정상·마르코프 과정과 정상·재생성 과정도 이 틀에 포함된다.

3. 상관 성질 — 시간영역 Time Domain

정상 과정은 평균 E(X(t))=m이 상수이고 공분산함수 r(τ)가 시간차 τ=s−t에만 의존한다(존재할 때). 이 조건만 만족하면 약정상(covariance stationary)이라 한다. 모든 공분산함수는 비음정치(nonnegative definite)다.

4. 스펙트럼 — 주파수영역 Frequency Domain

연속시간에서 연속 공분산함수는 유계·비감소·우연속인 스펙트럼 분포함수 F(ω)를 가진다.

ω는 주파수로 해석되며 스펙트럼 분포는 ‘분산을 모든 주파수에 걸쳐 나눈 분포’로 본다. ∫|r(τ)|dτ<∞이면 스펙트럼 밀도 f(ω)가 존재한다. 백색잡음은 평평한 스펙트럼 밀도를 가진다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 강정상성 — 모든 유한차원분포가 시간이동 불변.
• 약정상성 — 평균이 상수이고 공분산이 시간차에만 의존.
• 공분산함수 r(τ) — 시간차 τ의 함수로 본 공분산.
• 스펙트럼 분포 — 분산을 주파수별로 분해한 분포.
• AR(1) — 1차 자기회귀 과정.
• 백색잡음 — 평평한 스펙트럼의 무상관 과정.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

정상과정과 시계열(AR·MA·ARMA, Ornstein–Uhlenbeck)은 한국 계리에서 금리·물가·손해율·해지율의 시계열 모형과 경제적 시나리오 생성기(ESG)의 기본 도구다. 특히 평균회귀 금리모형(O-U/Vasicek류)이 대표적으로 쓰인다.

IFRS17의 할인율 시나리오와 K-ICS 금리리스크 측정이 정상·평균회귀 가정 위에 구성되며, 자동차·실손 손해율의 추세·계절 성분 분해도 정상화 이후의 시계열 분석으로 이루어진다.