척도분포 (Scale Distribution)

1. 정의 Definition

클레임은 흔히 모수적 분포로 모형화된다(Klugman, Panjer & Willmot의 Loss Models 2장 참조). 일부 모수적 분포는 다음 성질을 갖는다. X가 모수 θ를 갖는 어떤 모수적 분포를 따른다고 하고, 새 확률변수 Y = cX를 만들자. 그런데 Y도 마침 같은 모수적 분포족에 속하되 모수만 θ*로 바뀐다고 하자. 이것이 모든 θ와 모든 c > 0에 대해 참이면, 그 모수적 분포를 척도분포(scale distribution)라 한다. 척도분포를 선택하면 두 가지 큰 이점이 있다.

• 인플레이션 불변. 인플레이션이 일률적으로 적용되어도, 결과 확률변수는 (모수만 달라진) 같은 분포를 따른다.
• 화폐단위 불변. 원화→달러처럼 화폐단위를 바꿔도 분포족이 바뀌지 않는다.

2. 파레토분포의 예 The Pareto Example

파레토분포가 척도분포임은 다음과 같이 확인된다. X가 모수 θ₁(형상), θ₂(척도)의 파레토분포를 따를 때, Y = cX의 분포함수는

즉 Y는 θ₁* = θ₁, θ₂* = cθ₂인 파레토분포다. 첫 줄의 변형은 어떤 분포에나 적용되는 일반 원리임에 주의하라. 마찬가지로 밀도함수가 존재하면

3. 척도모수 Scale Parameter

파레토분포에는 더 좋은 성질이 있다. c를 곱했을 때 θ₂ 외의 모든 모수는 변하지 않고 θ₂만 c배가 된다. 이처럼 한 모수만 c배가 되고 나머지는 모두 불변일 때, 그 모수를 척도모수(scale parameter)라 한다. 척도분포인데 척도모수가 없는 경우에도, 대개 재모수화로 척도모수를 만들 수 있다. 예컨대 로그정규분포를

로 쓰면(Φ는 표준정규분포함수), 이 모수화에서 ν가 척도모수가 된다. (통상적 모수화의 μ = ln ν 대신 ν = e^μ를 쓴 것이다.)

4. 척도분포 만들기와 반례 Creating Scale Distributions

척도분포가 아닌 분포도 확률변수에 c를 곱해 척도분포로 확장할 수 있다. 예컨대 (0, 1) 위의 1모수 분포

에서 Y = cX로 놓으면 2모수 척도분포

가 만들어진다. 널리 쓰이는 분포의 다수가 척도분포이지만, 모든 모형이 그런 것은 아니다. 예컨대 로그감마분포(Hewitt; Hogg & Klugman)는 이 성질을 갖지 않는다.

예제 인플레이션을 받은 파레토 클레임

어느 담보의 클레임 심도 X가 파레토분포(θ₁ = 3, θ₂ = 1,000만원)를 따른다. 내년 손해액이 일률적으로 10% 인플레이션을 받는다고 할 때(Y = 1.1X), (1) Y의 분포를 밝히고, (2) 인플레이션 전후의 평균 클레임과 P(클레임 > 2,000만원)을 비교하라.

(1) 척도분포 성질에 의해 Y는 파레토분포(θ₁ = 3, θ₂ = 1,100만원)다 — 형상모수는 그대로, 척도모수만 1.1배.

(2) 파레토 평균은 θ₂/(θ₁−1)이므로 1,000/2 = 500만원에서 1,100/2 = 550만원으로 정확히 10% 증가한다. 초과확률은

평균은 10%만 늘었지만 "2,000만원 초과" 확률은 약 21%나 증가했다. 일률적 인플레이션도 고정된 한도·자기부담금 기준으로 보면 대형 클레임 빈도를 훨씬 크게 키운다는 것 — 이른바 한도 인플레이션 지렛대 효과 — 도 척도분포 계산으로 즉시 확인된다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 모수적 분포 (parametric distribution) — 유한 개의 모수로 완전히 결정되는 분포족. 자료 적합과 외삽이 쉽다.
• 척도분포 (scale distribution) — 확률변수에 양수 c를 곱해도 같은 분포족에 머무는 분포.
• 척도모수 (scale parameter) — c배 변환 시 자신만 c배가 되고 나머지 모수는 불변인 모수.
• 형상모수 (shape parameter) — 분포의 모양(특히 꼬리 두께)을 정하는 모수. 파레토의 θ₁이 그 예.
• 파레토분포 (Pareto distribution) — 생존함수 (θ₂/(θ₂+x))^θ₁인 두꺼운 꼬리 분포. 대형 클레임 모형의 단골.
• 로그정규분포 (log-normal distribution) — 로그를 취하면 정규분포가 되는 분포. 클레임 심도 모형에 널리 쓰인다.
• 로그감마분포 (log-gamma distribution) — 로그를 취하면 감마분포가 되는 분포. 척도분포가 아닌 대표적 반례.
• 재모수화 (reparameterization) — 같은 분포족을 다른 모수 조합으로 다시 쓰는 일. 척도모수를 드러내는 데 쓰인다.
• 표준정규분포함수 (Φ) — 평균 0, 분산 1인 정규분포의 분포함수.
• 트렌딩 (trending) — 과거 손해액 자료를 물가·비용 상승률로 보정해 장래 수준으로 환산하는 요율산정 절차.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

척도분포·척도모수의 성질은 한국 실무에서 인플레이션과 단위 처리의 문법으로 일한다. 국내 심도(클레임 금액) 모형의 단골인 감마·지수·와이불·파레토(2형)·로그정규(로그척도에서)는 모두 척도족이므로, 과거 연도 클레임을 물가·의료비 상승으로 현재 수준에 맞추는 추세 조정(trending)이 "분포를 다시 적합"하는 일이 아니라 "척도모수에 (1+인플레이션율)을 곱하는" 일로 끝난다. 자동차 수리비·의료비처럼 인플레이션이 뚜렷한 국내 담보의 요율 분석에서 이 성질은 매일 쓰인다.

이 편리함이 깨지는 지점이 실무의 함정이다. 보상한도·자기부담금은 명목 금액으로 고정되어 있으므로, 손해 자체가 c배로 커져도 한도 초과 부분·공제 통과 부분은 c배보다 빠르게 커진다(레버리지 효과). 재보험 초과손해 층의 손해액이 원수 손해율보다 가파르게 악화되는 현상, 실손의료보험에서 자기부담 구조(5세대 기준 비중증 비급여 50%)를 통과한 지급보험금이 의료 이용량 증가에 민감한 현상이 그 사례다. 척도 성질 덕에 "기초 분포의 조정"은 쉽지만, "계약 구조를 통과한 뒤의 분포"는 따로 계산해야 한다.

제도 계산에서도 척도 성질은 조용히 일한다. IFRS17 최선추정 현금흐름의 미래 클레임 수준 가정, K-ICS 분석을 위한 손해분포의 통화·단위 일관성, 원화·외화 혼재 포트폴리오(해외 수재 등)의 분포 합산에서 "척도만 바꾸면 같은 족 안에 머문다"는 보장이 모형 관리를 단순하게 만든다. 반대로 척도족이 아닌 분포(예: 모수에 위치가 섞인 변형)를 쓰면 인플레이션 조정 때마다 분포족이 바뀌는 번거로움이 생기므로, 심도 모형은 특별한 이유가 없는 한 척도족에서 고르는 것이 국내외 공통의 실무 지혜다.