최대우도

1. 서론 Introduction

보험계리 모형은 대개 어떤 모수분포(parametric distribution)를 포함한다. 모형을 실제로 쓰려면 모수값을 적절히 정하는 방법이 필요한데, 최대우도(ML) 원리는 모수모형이 주어졌을 때 모수를 추정하는 가장 강력한 방법이다. 우도함수(likelihood function)는 자료표본에 관한 함수다. 자료표본이 어떤 분포함수로부터 독립적으로 무작위 추출된 것이라 가정하면, 이 표본이 나올 우도는 각 자료점에 해당하는 개별 확률(또는 밀도)들의 곱이다.

각 개별 확률은 자료점이 무작위 실현값이므로 값이 다르지만, 같은 분포에서 뽑힌 표본이므로 같은 모수값을 공유한다. 우도함수는 자료표본을 고정한 채 모수의 함수로 보아야 한다. ML 추정은 특정 분포 가정 아래에서 그 표본이 나올 우도를 가장 크게 하는 미지 모수를 찾는 행위다. 어떤 경우에는 ML 해를 해석적으로 구할 수 있지만, 일반적으로는 수치최적화로 계산한다.

이 원리의 통계이론은 20세기 초 에지워스(Edgeworth)와 피셔(Fisher)로 거슬러 올라가며, 이후 더 엄밀하게 다듬어졌다. ML 추정량은 합리적 조건 아래에서 점근적으로 최적이다 — 즉 일치(consistent)하고, 점근적으로 정규분포를 따르며, 가능한 최소의 표본오차를 갖는다.

2. ML 추정과 추론 ML Estimation and Inference

잠시 독립동일분포(i.i.d.) 표본 X = (x₁, …, x_T)가 밀도 f(x; θ)에서 생성된다고 하자(θ는 n차원 미지 모수벡터). 독립 가정 덕분에 우도함수는 결합밀도를 곱으로 쓸 수 있다.

실무에서는 먼저 자연로그를 취해 로그우도(log-likelihood)를 다룬다.

로그는 단조증가함수이므로 로그우도를 최대화하는 것은 우도를 최대화하는 것과 같다. 더 중요한 이유는, 통계적 성질의 증명에 필요한 큰수의 법칙과 중심극한정리가 곱이 아니라 합에 적용되기 때문이다. 로그는 우도를 곱에서 합으로 바꾸어 이들 극한정리를 적용할 수 있게 한다. 로그우도를 모수로 미분한 점수함수(score function)는 ML 이론에서 핵심적 역할을 한다.

3. 점근적 성질 Asymptotic Properties

일치성. ML 추정량의 일치성은, 참 모수벡터 θ₀에서 평가한 로그우도의 기대값이 바로 θ₀에서 최대가 된다는 사실에서 비롯한다. 이는 로그가 오목함수이므로 옌센 부등식(Jensen's inequality)으로 보일 수 있다.

표본크기로 나눈 로그우도가 큰수의 법칙에 의해 이 기대값으로 수렴하고, 그 기대값이 θ₀에서 최대이므로, ML 추정량 θ̂_T는 표본이 커질수록 θ₀로 수렴한다.

점근정규성과 효율성. 점수함수를 θ₀ 주위에서 평균값 정리로 전개하고, 첫 항에 큰수의 법칙, 둘째 항에 중심극한정리를 적용하면 다음 점근분포를 얻는다.

여기서 I는 피셔 정보행렬(Fisher information matrix)이다. 우도가 올바르게 명시되고 받침이 θ에 의존하지 않으면, 다음 정보 항등식이 성립한다.

점근공분산은 참값에서 평가되지만 일치성 덕분에 ML 추정값으로 대체할 수 있다. 정보 항등식은 공분산을 1차 미분만으로(점수함수의 외적), 또는 2차 미분(헤시안)으로 계산하는 두 방법을 제시한다. 이런 의미에서 ML 추정량은 점근적으로 효율적(최소 분산)이다.

4. 가설검정 Hypothesis Testing

어떤 모형이 적절한지 평가하려면, 그 목표모형을 포함하는 더 큰 모수족(nesting class)을 두고 검정한다. 귀무가설은 제약 c(θ) = 0(k개의 제약)으로 표현된다. ML 맥락에서 흔히 쓰는 세 검정은 다음과 같다.

• 우도비 검정(LR test). 제약·비제약 최대우도의 비를 본다. 귀무가설 아래에서 통계량이 자유도 k의 카이제곱 분포를 따른다.
• 왈드 검정(Wald test). 비제약 추정값 θ̂^(U)만 필요하다. 제약이 0에 가까운지(c(θ̂) ≈ 0)를 가중해 본다.
• 라그랑주 승수 검정(LM test). 제약 추정값 θ̂^(R)만 필요하다. 제약 추정값에서 평가한 비제약 점수함수가 0에 가까운지를 본다.

세 검정은 점근적으로 동등하지만 유한표본에서는 다른 값을 줄 수 있다. 비제약 추정이 어려운 경우 LM 검정이, 제약 추정이 어려운 경우 왈드 검정이 편리하다. LR 검정 시에는 귀무가설 아래에서만 식별 불가능해지는 장애모수(nuisance parameter)의 존재에 유의해야 한다.

5. 예: 대형 의료청구 연구 Example: Large Medical Claims

1991년 미국 계리사회의 대형 청구 연구 자료를 쓴다. 표본은 $25,000을 넘는 의료청구 12,745건으로, 청구액이 연령·성별·진단(ICD-9 코드)에 어떻게 의존하는지 본다. 로그 청구액 y_i가 설명변수 x_i에 선형으로 의존하고 오차가 정규분포라 가정한다. 선형·정규 모형에서는 ML 추정이 보통최소제곱(OLS)과 같지만, 이 표본은 $25,000 초과만 담은 절단(truncated) 자료이므로 밀도가 다음처럼 바뀐다.

여기서 φ, Φ는 표준정규의 pdf·cdf이다. 절단은 원래의 선형모형을 비선형으로 만들어 OLS를 부적절하게 한다. 절단된 로그우도를 수치최적화(MATLAB)로 최대화해 ML 추정값을 얻는다.

결과적으로, 진단을 통제하면 나이가 많을수록 기대 청구액이 커지고(연령 효과는 매우 유의), 남성이 여성보다 청구액이 낮다(성별 효과도 유의). 연령·성별의 결합효과를 두 계수를 0으로 두는 귀무가설로 검정하면, 비제약·제약 로그우도 −4587.7과 −4601.3에서 LR 통계량은 27.2가 된다. 자유도 2 카이제곱의 99% 분위수 9.21을 크게 넘으므로 귀무가설을 기각한다(왈드 30.21, LM 24.25도 동일 결론). 즉 연령과 성별이 함께 청구액에 유의하게 영향을 준다.

6. 시계열 모형과 준최대우도 Time Series and Quasi-ML

이자율은 강하게 자기상관되고 주가수익률은 변동성 군집을 보이는 등, i.i.d. 가정이 부적절한 경우가 많다. (준)최대우도 원리는 정상 종속표본으로 확장된다. 동적 구조를 가진 모형에서는 로그우도를 개별 조건부 로그밀도들의 합으로 쓸 수 있고, 적절한 혼합(mixing) 조건 아래 점수함수를 벡터 마팅게일로 보아 마팅게일 중심극한정리로 점근분포를 얻는다.

분포의 모수형태가 잘못 명시되면 보통의 ML 점근성질이 깨진다. 이때 준최대우도(quasi-ML, QML) 원리가 쓰인다. 적절한 조건 아래에서 잘못 명시된 분포에 기반한 ML 추정도 여전히 일치하고 점근정규일 수 있다 — 다만 더 이상 점근적으로 효율적이지는 않다(이 대가로 강건한 robust 추정·추론을 얻는다). 위치–척도 모형에서는 정규성을 (틀리게) 가정해도 평균·분산 모수는 일치추정된다.

예(미국 이자율). 1973–1990년 3개월 미국 재무성증권 수익률 주간자료 909개에 GARCH(1,1)+수준효과 모형을 적합한다. 조건부 정규성으로 로그우도를 만들되 참 분포를 모르므로 QML을 쓴다. 추정 결과 변동성 군집(유의한 GARCH 계수)과 수준효과(이자율이 높으면 변동성도 높음)가 확인되고, 강건표준오차가 대부분 더 크게 나와 효율성 상실이라는 점근이론과 부합한다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 우도함수 (likelihood function) — 자료를 고정하고 모수의 함수로 본, 그 자료가 나올 확률(밀도)의 곱.
• 로그우도 (log-likelihood) — 우도에 로그를 취한 것. 곱을 합으로 바꿔 다루기 쉽게 함.
• 점수함수 (score function) — 로그우도를 모수로 미분한 것. 0이 되는 곳이 ML 해.
• 일치성 (consistency) — 표본이 커질수록 추정량이 참 모수로 수렴하는 성질.
• 점근정규성·효율성 (asymptotic normality / efficiency) — 큰 표본에서 정규분포를 따르고 최소분산을 달성.
• 피셔 정보 (Fisher information) I — 자료가 모수에 대해 담은 정보량. 점근분산은 I⁻¹.
• 우도비·왈드·LM 검정 — ML 맥락의 세 가지 가설검정. 점근적으로 카이제곱.
• 절단 (truncation) — 일정 한도 밖 관측이 표본에서 빠진 상태. 조건부 밀도로 보정 필요.
• 준최대우도 (quasi-ML, QML) — 분포를 잘못 명시해도 일치·점근정규를 주는 강건 추정.
• GARCH — 변동성 군집을 모형화하는 시계열 변동성 모형.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

최대우도추정(MLE)은 한국 보험 계리에서 경험생명표·발생률표 추정, GLM 기반 요율 모형, IFRS17 가정 적합의 표준 추정 방법이다. 제10회 경험생명표(2024년 4월)의 생존함수 추정에는 중도절단을 고려한 MLE가 쓰이며, 개별 사망 사건의 우도 기여와 절단 사건의 생존 우도 기여를 곱한 전체 우도를 최대화하는 방식으로 연령별 사망력 μ(x)를 추정한다. 이 과정에서 로그우도 미분으로 구한 편미방 방정식의 수치해가 계리 소프트웨어(SAS, R의 survival 패키지)로 산출된다.

자동차보험·실손보험의 GLM 요율 모형에서도 MLE가 핵심 역할을 한다. 포아송·감마·트위디 분포 가정 하에 GLM 계수(위험도 상대 지수)를 MLE로 추정하며, Fisher 정보 행렬의 역행렬이 추정계수의 분산-공분산 구조를 주므로 요율 구간 추정과 유의성 검정의 기반이 된다. 금융감독원 참조순보험요율 산출 표준에서 GLM MLE가 사실상 요율 산정 기준 방법으로 자리 잡았다.

IFRS17 최선추정(BEL) 현금흐름의 해지율·질병 발생률·비용 인플레이션 등 장기 가정을 경험 데이터에서 추정할 때도 MLE가 쓰인다. 파라메트릭 모형(예: Makeham 생존함수, 와이불 장해 회복률)을 가정하고 계약자별 관측 우도를 최대화하는 과정이 표준 절차이며, 작은 표본에서는 정보 행렬의 역수가 부정확해져 부트스트랩 오차로 보완한다.