측도변환

1. 개요 Introduction

측도변환(change of measure)은 새들포인트 근사(saddlepoint approximation), 경계(bound), 최적 시뮬레이션 기법을 유도하는 데 쓰이는 기법으로, 위험이론(risk theory)과 금융수리에서 폭넓게 활용된다. 핵심 아이디어는 하나의 확률측도 P 아래에서 다루기 어려운 계산을, 적절히 고른 다른 확률측도 P̃ 아래에서 다루고, 그 차이를 밀도(가능도비)로 보정해 원래 값을 복원하는 것이다.

2. 라돈-니코딤 정리 Radon-Nikodym Theorem

기본 공간 Ω 와 그 부분집합들의 σ-체 F 위에서 두 확률측도 P 와 P̃ 를 생각한다. P(A) = 0인 모든 A에 대해 P̃(A) = 0이면 P̃ 가 P에 대해 절대연속(absolutely continuous)이라 하고 P̃ « P 로 쓴다. P̃ « P 이고 P « P̃ 이면 두 측도가 동치(equivalent)라 하고 P̃ ≡ P 로 쓴다.

여기서 유용한 형태의 라돈-니코딤 정리는, EZ = 1인 비음 확률변수 Z 가 존재하여 모든 A ∈ F 에 대해 다음이 성립한다는 것이다. 이 Z 를 라돈-니코딤 도함수(Radon-Nikodym derivative)라 하고 dP̃/dP 로 쓴다.

이 관계식은 측도변환 기법의 기본이며, 다음과 같이 동등하게 표현할 수 있다. 즉 P 아래의 기대값(가중치 Z 부여)과 P̃ 아래의 기대값이 일치하고, 동치인 경우 역방향 복원도 가능하다.

3. 중요도 표본추출과 가능도비 Importance Sampling & Likelihood Ratio

시뮬레이션에서 기본적인 분산감소 기법인 중요도 표본추출(importance sampling)은 사실 측도변환이다. 밀도 g(x), g̃(x)를 갖는 두 측도에서 Ẽφ(X) = ∫ φ(x) g̃(x) dx 를 구할 때, g(x) = 0인 곳의 P-확률이 0이라 가정하면 다음으로 다시 쓸 수 있다.

여기서 비 g̃(x)/g(x)를 가능도비(likelihood ratio)라 한다. 적절한 g̃ 의 선택은 추정량 (1/n) Σ φ(X_j) g̃(X_j)/g(X_j)의 성질을 크게 개선한다.

4. 가능도비 수열과 밀도과정 Likelihood Ratio Sequence / Density Process

두 측도 P, P̃ 아래의 확률변수 수열 X₁, X₂, … 을 생각하고, F_n 을 X₁, …, X_n 이 생성하는 σ-체(여과)라 하자. 모든 n에 대해 P̃|_n « P|_n 이라 가정하면 밀도과정(density process) Z_n = dP̃|_n/dP|_n 은 (Ω, F, P) 위에서 F_n-마팅게일이다. 실제로 n ≥ m, A ∈ F_m 에 대해 다음이 성립한다.

역으로, EZ₁ = 1인 양의 F_n-마팅게일 Z_n 이 주어지면 dP̃|_n = Z_n dP|_n 으로 일관된 확률측도열을 정의할 수 있다(콜모고로프 일관성 정리). 특히 X_i 가 밀도 g, g̃ 를 갖는 독립동일분포(iid)일 때 밀도과정은 가능도비의 곱이 된다.

5. 에셔 변환과 지수 기울이기 Esscher Transform & Exponential Tilting

공통분포 F 를 갖는 iid 수열에서 적률생성함수 m̂(s) = E exp(sX)가 구간 (θ_l < 0 < θ_r)에서 유한하다고 하자. 각 θ에 대해 연관분포(associated distribution) 또는 에셔 변환(Esscher transform)을 다음으로 정의한다.

이때 누적합 S_n = X₁ + … + X_n 에 대한 밀도과정은 지수 기울이기(exponential tilting) 형태가 된다.

기본 항등식은 정지시각 τ와 A ∈ F_τ 에 대해 P(A) = Ẽ_θ[exp(−θS_τ + τκ(θ)); A] 로 확장되며, 여기서 κ(θ) = log m(θ)는 누율생성함수다. 에셔 변환은 측도변환과 위험이론을 잇는 핵심 고리다.

6. 연속시간 과정과 거사노프형 변환 Continuous Time & Girsanov

여과 (Ω, F, {F_t}, P) 위의 우연속 좌극한(cadlag) 과정을 생각한다. EZ(t) = 1인 양의 마팅게일 Z(t)가 있으면, 각 t에 대해 측도를 다음으로 변환할 수 있고 정지시각으로 확장된다.

{X(t)}가 마르코프 과정이면 생성원(generator) A 를 정의할 수 있다. 양의 함수 f 에 대해 다음 과정 Z(t) = E_f(t)는 마팅게일이며, 이를 통한 측도변환은 새 측도 아래에서도 X 를 마르코프 과정으로 만든다(쿠니타-와타나베 정리). 이것이 거사노프 정리(Girsanov theorem)의 마르코프판이다.

새 생성원은 Ãf = h⁻¹[A(fh) − f Ah]로 주어진다. 브라운 운동의 경우, 거사노프 정리는 측도변환이 드리프트(표류)를 바꾼다는 형태로 나타난다 - 즉 새 측도 아래에서 W̃_t = W_t − ∫₀^t γ_s ds 가 브라운 운동이 된다.

7. 푸아송 과정과 고전 위험모형 Poisson Process & Classical Risk Model

강도 λ(변환 후 λ̃)인 푸아송 과정에 대해 밀도과정은 다음과 같다.

고전 푸아송 위험모형에서 청구가 강도 λ의 푸아송 과정 N(t)로 도착하고 청구액 U_i 가 분포 B 를 갖는 iid, 보험료율 β > 0 일 때, 청구잉여과정은 S(t) = Σ_j=1^N(t) U_j − βt 이다. 다음 과정은 평균 1의 마팅게일이다.

κ(γ) = 0 을 만족하는 γ > 0 (조정계수)이 존재하면 Z(t) = exp(γS(t))는 양의 평균-1 마팅게일이 되고, 이로 측도를 바꾸면 새 측도 아래에서 파산이 거의 확실해진다. 파산확률을 정지시각 항등식으로 다시 쓰면 룬드베리 부등식(Lundberg inequality)을 얻는다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 측도변환 (change of measure) - 한 확률측도의 계산을 다른 측도로 옮기고 밀도로 보정하는 기법.
• 라돈-니코딤 도함수 (Radon-Nikodym derivative) - 두 측도의 비 dP̃/dP = Z; 측도 간 '환율'.
• 절대연속 / 동치 (absolutely continuous / equivalent) - P의 영집합이 P̃의 영집합인 관계 / 서로 그 관계인 관계.
• 밀도과정 (density process) - 여과를 따라가며 정의되는 라돈-니코딤 도함수 Z_n; 마팅게일이다.
• 가능도비 (likelihood ratio) - 두 밀도의 비 g̃(x)/g(x); 중요도 표본추출의 가중치.
• 에셔 변환 / 지수 기울이기 (Esscher transform / exponential tilting) - e^θx로 분포를 기울여 만든 연관분포.
• 거사노프 정리 (Girsanov theorem) - 측도변환이 브라운 운동의 드리프트를 바꾸는 정리.
• 누율생성함수 (cumulant generating function) - κ(θ) = log m(θ); 적률생성함수의 로그.
• 조정계수 (adjustment coefficient) - κ(γ) = 0의 양의 해 γ; 룬드베리 지수.
• 룬드베리 부등식 (Lundberg inequality) - 파산확률의 지수 상한 e^−γu.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

측도변환은 한국 보험 계리에서 주로 금리·파생상품 가격결정과 파산론 기반 준비금 분석에 등장한다. 금리연동보험(변액보험·변액연금)의 보증옵션(GMAB·GMDB) 가격결정은 위험중립측도(Q-measure)하에서 기대 보증비용을 할인하는 방식으로 이루어지며, 여기서 실제 측도(P)를 Q로 바꾸는 라돈-니코딤 도함수 — 즉 주가 과정의 드리프트를 무위험이자율로 대체하는 기르사노프 변환 — 가 핵심 수학 도구다. 국내 생보사들은 이 접근으로 변액 보증준비금을 적립하며, 금융감독원도 위험중립 시나리오(RNS)를 표준 방법론으로 채택하고 있다.

파산 확률 분석에서도 측도변환이 쓰인다. 집합적 손해 모형의 파산확률 지수 상한(룬드베리 부등식)은 지수 마팅게일 하의 측도변환 — 루스 거울 원리의 연장 — 으로 도출되며, 보험사 지급여력의 수학적 하한을 제공한다. K-ICS 99.5% VaR 기준이 규제의 전면에 나오면서 룬드베리류 분석은 다소 후경으로 밀렸지만, 내부모형의 극단 손해 꼬리 특성화에 여전히 활용된다.

재보험 가격결정과 Cat 모형에서도 측도변환의 원리가 내재한다. 손해 크기 분포에 에셔 변환(Esscher transform)을 적용해 보험자의 기대 손해 대신 "가중 기대 손해"로 보험료를 산정하는 에셔 보험료 원리는 측도변환의 보험 버전이며, 국내 재보험 가격 협상에서 참고 기준으로 쓰이기도 한다.