포아송 과정 (Poisson Processes)

1. 개요 Introduction

보험 포트폴리오에서 청구가 시간에 따라 발생하는 모습은 점 과정 N(t)로 기술된다. 여기서 N(t)는 시간 구간 (0,t]에 발생한 청구 건수이고, s<t일 때 N(t)−N(s)는 (s,t]의 청구 건수다. 가장 단순하면서도 중심이 되는 모형이 포아송 과정이다.

2. 포아송 과정의 정의 Definition

점 과정 N이 강도 α>0의 (동차) 포아송 과정이라 함은 다음 두 조건을 뜻한다. ① 독립 증분: 서로 겹치지 않는 구간들의 증분이 독립이다. ② 증분 N(t)−N(s)가 평균 α(t−s)인 포아송 분포를 따른다.

강도 α=1인 경우를 표준 포아송 과정이라 한다. 짧은 구간 길이 h에 대해 “건수 1건이 일어날 확률≈αh, 2건 이상은 o(h)”라는 국소 가정이 위 정의를 낳는다.

3. 비동차 포아송 과정 Nonhomogeneous Case

강도가 시간에 따라 변하면, 상수 α 대신 강도 함수 α(t) 또는 강도 측도 A를 쓴다. 이때 증분은 평균 A(t)−A(s)의 포아송 분포를 따른다.

표준 포아송 과정 Ñ과 강도 측도 A로부터 N(t)=Ñ(A(t))로 시간을 변환하면 강도 측도 A의 포아송 과정을 얻는다(→ 운영 시간).

4. 주요 성질 Properties

• 중첩(superposition) — 독립인 두 포아송 과정의 합은 강도 측도가 더해진 포아송 과정이다.
• 단순성(simple) — 같은 시각에 두 청구가 동시에 일어나지 않음. A(·)가 연속이면 동치다.
• 정상성 — A(t)=αt일 때, 그리고 그때에만 정상이다.
• 희소 합의 극한 — 독립이고 ‘충분히 희소한’ 점 과정을 많이 더하면 근사적으로 포아송이 된다.

5. 특성화 Characterizations

단순·비원자(nonatomic) 점 과정은 독립 증분만으로 비동차 포아송 과정이 된다(Prékopa). 또한 점 과정과 마팅게일을 잇는 고전적 결과인 Watanabe 정리는, 단순 점 과정이 포아송이 될 필요충분조건이 그 F^N-보정자(compensator)가 결정론적이라는 것임을 말한다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 점 과정 — 시간·공간에 흩어진 사건 시점들의 무작위 배치.
• 강도 α — 단위 시간당 사건의 평균 발생률.
• 독립 증분 — 겹치지 않는 구간의 증가량이 서로 독립.
• 강도 측도 A — 시간에 따라 변하는 강도를 적분해 누적한 측도.
• 보정자(compensator) — 과정에서 ‘예측 가능한 추세’를 빼 마팅게일로 만드는 항.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

포아송 과정은 한국 손해·실손보험 청구건수의 기본 모형이다. 독립증분과 일정 강도 가정으로 빈도를 산출하고, 계절·요일효과는 강도함수를 가진 비동차 포아송으로, 총손실은 빈도와 심도를 결합한 복합 포아송으로 확장한다.

순보험료가 강도 × 평균심도로 표현되는 직관, 진전삼각형의 발생연도 빈도, 대재해(Cat) 모형의 사건 발생이 모두 포아송 사고에 기반한다. 다만 실제 자료의 과대산포는 음이항(혼합 포아송)으로 보정하는 것이 일반적이다.