혼합분포
1. 혼합분포란 무엇인가 Treating a Parameter as Random
이 글에서는 확률분포의 모수(parameter) 하나 또는 여러 개를 어떤 의미에서 '확률변수'로 취급함으로써 분포를 혼합(mixing)하는 방법을 살펴본다. 이 아이디어는 흔히 포아송분포의 혼합과 관련지어 설명된다.
우리는 어떤 확률분포의 모수가 고려 대상 모집단('집단', collective) 전체에 걸쳐 그 자체가 다시 분포를 따른다고 가정한다. 그리고 자료를 만들어내는 표집(sampling) 절차가 두 단계로 이루어진다고 본다. 먼저 모수의 분포에서 모수 값 하나가 뽑히고, 다음으로 그 뽑힌 모수 값이 주어진 상태에서 그 모집단으로부터 관측값 하나가 생성된다.
혼합분포는 "먼저 모수를 뽑고, 그다음 자료를 뽑는" 2단계 추첨으로 생각하면 쉽다. 1단계에서 위험모수 θ가 분포 U(θ)에서 뽑히고, 2단계에서 그 θ를 쓰는 분포 f(x|θ)에서 관측값이 나온다. 같은 집단 안에서도 위험이 사람마다 다르다는 이질성(heterogeneity)을 자연스럽게 담아낸다.
자동차보험을 예로 들면, 분류(classification) 체계는 가격을 매기기 위해 개인들을 (상대적으로) 동질적인 집단으로 묶으려 한다. 분류에 쓰이는 변수로는 나이, 운전 경력, 위반 이력, 사고 이력 등이 있다. 그러나 각 분류 안에서도 사고위험에는 언제나 어느 정도 잔차변동이 남으므로, 혼합분포는 이러한 이질성을 모형화하는 틀을 제공한다.
또 클레임 규모(claim size) 분포의 경우, 미래의 클레임 인플레이션과 관련한 불확실성이 있을 수 있는데, 이때 척도혼합(scale mixture)이 이 불확실성을 다루는 편리한 장치가 되곤 한다.
나아가 이산형이든 연속형이든, 혼합은 주어진 자료에 더 잘 맞는 대안적 모형을 구성하는 한 방법이 되기도 한다.
2. 혼합분포의 정의 Definition via the Mixing Distribution
위험모수가 θ로 알려져 있을 때의 확률분포의 적률생성함수(mgf)를 M(t|θ) = ∫0∞ etxf(x|θ) dx 라 하자. 모수 θ는 예컨대 포아송 평균일 수 있으며, 그 경우 위험의 척도는 고정된 기간 동안 기대되는 사건의 수가 된다.
이제 U(θ) = Pr(Θ ≤ θ) 를 위험모수 Θ의 누적분포함수(cdf)라 하자. 여기서 Θ는 확률변수로 본다. 그러면 U(θ)는 Θ의 값 하나가 뽑혔을 때(예: 자동차보험에서 운전자 한 명이 포함될 때) 위험모수가 θ를 넘지 않을 확률을 뜻한다. 그러면 무조건(unconditional) 적률생성함수는 다음과 같다.
이에 대응하는 무조건 확률분포(혼합분포)는 다음으로 표기된다.
혼합분포를 정하는 혼합분포 U(θ)는 이산형일 수도, 연속형일 수도, 또는 이산·연속이 섞인 형태일 수도 있다. 혼합함수가 이산형이면 이산혼합(discrete mixture), 연속형이면 연속혼합(continuous mixture)이라 한다.
여기서 주의할 점은, 자료는 오직 혼합된 분포에서만 뽑히므로 혼합분포 U(θ) 자체는 실무에서 보통 관측되지 않는다는 것이다.
3. 이산혼합의 예 Discrete (Two-point) Mixtures
두 점 혼합(two-point mixture)으로 영-수정(zero-modified) 분포를 만들 수 있음을 보이라.
영-수정 분포는 다음과 같은 두 점 혼합으로 만들어진다.
이는 퇴화분포(degenerate distribution, 모든 확률이 0에 몰린 분포)와, mgf가 M(t|θ)인 분포의 (이산) 두 점 혼합이다. 즉 확률 p로 항상 0이 나오고, 확률 1−p로 원래 분포를 따른다.
운전자를 '좋은 운전자'와 '나쁜 운전자'로 나눌 수 있고, 두 집단이 각자 자기만의 포아송분포를 따른다고 하자. (이 모형과 자료 적용은 Tröbliger [4]의 것이다.)
정의식으로부터 무조건 확률은 다음과 같다.
Tröbliger [4]가 계산한 최대가능도추정값은 p̂ ≈ 0.94, λ̂1 ≈ 0.11, λ̂2 ≈ 0.70 이었다. 즉 운전자의 약 6%는 연간 기대사고 λ ≈ 0.70인 '나쁜' 운전자였고, 94%는 연간 기대사고 ≈ 0.11인 '좋은' 운전자였다.
4. 연속혼합과 혼합 포아송 Continuous Mixtures and Mixed Poisson
혼합 포아송분포는 이 백과사전의 같은 이름 항목에서 자세히 다루어진다. 그중 많은 경우가 연속 혼합분포를 포함한다. 가장 잘 알려진 혼합 포아송분포로는 음이항분포(negative binomial, 포아송을 감마분포로 혼합)와 포아송–역가우스(Poisson–inverse Gaussian, 포아송을 역가우스분포로 혼합)가 있다.
또한 간단한 분포에서 출발해 그 밖에도 많은 혼합모형을 만들 수 있다.
이항분포의 성공확률 q를 베타분포로 혼합하라. (이 분포는 이항–베타, 음의 초기하, 또는 Polya–Eggenberger 분포라 불린다.)
베타분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.
정의식에 따라 q에 대해 적분하면, 무조건 확률은 감마함수 Γ로 표현되는 다음 꼴이 된다. f(x) = [Γ(a+b)Γ(m+1)Γ(a+x)Γ(b+m−x)] / [Γ(a)Γ(b)Γ(x+1)Γ(m−x+1)Γ(a+b+m)], x = 0, 1, …, m.
음이항분포의 모수 p = (1+β)−1를 베타분포로 혼합하라. (이 혼합분포는 일반화 Waring 분포라 불린다.)
예 3과 같은 방식으로 적분하면, f(x) = [Γ(r+x)Γ(a+b)Γ(a+r)Γ(b+x)] / [Γ(r)Γ(x+1)Γ(a)Γ(b)Γ(a+r+b+x)], x = 0, 1, 2, … 가 된다. b = 1이면 Waring 분포, r = b = 1이면 Yule 분포라 부른다.
예 3과 예 4는 혼합이지만, 그 혼합분포(베타분포)는 무한분해가능(infinitely divisible)하지 않다 — 베타분포는 유한한 받침(support)을 갖기 때문이다. 따라서 이들 분포를 복합 포아송분포로 쓸 수 없고, 복합 포아송 구조의 이점을 활용할 수도 없다.
5. 지수분포의 혼합과 취약성 모형 Mixtures of Exponentials and Frailty
다음 부류의 연속 혼합분포는 보험계리학의 여러 분야에서 중심적으로 중요하다.
지수분포를 모수 θ에 대해 혼합하라.
혼합분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.
여기서 M0(t)를 확률모수 θ와 결부된 mgf라 하면, 혼합 밀도는 f(x) = M0(−x) 가 된다.
예컨대 θ가 감마밀도 λ(λθ)α−1e−λθ/Γ(α)를 가지면 M0(t) = [λ/(λ−t)]α이고, 따라서 혼합분포는 다음이 된다 — 파레토(Pareto) 분포다.
파레토를 포함한 모든 지수혼합은 감소하는 고장률(decreasing failure rate)을 갖는다. 즉 시간이 지날수록 다음 순간 사건이 일어날 조건부 위험이 줄어든다. 또한 지수혼합은 이른바 취약성 모형(frailty model)을 세우는 토대가 된다. 취약성 모형은 개체별로 다른 '취약성' θ가 기본 위험률에 곱으로 작용한다고 보는 생존분석 모형이다.
혼합분포에 대한 깊이 있는 다룸은 참고문헌 [1–3]을 보면 된다.
참고 및 관련 표제어
부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)
- 혼합분포 (mixture of distributions) — 모수를 확률변수로 보고, 그 모수의 분포에 대해 적분(또는 합)해서 얻는 무조건분포.
- 혼합분포 U(θ) (mixing distribution) — 위험모수 θ가 따르는 분포. 이산·연속·혼합형 모두 가능하며 보통 직접 관측되지 않음.
- 적률생성함수 mgf (moment generating function) — M(t) = E[etX]. 분포를 한 함수로 요약하며 혼합 계산에 편리함.
- 이산혼합 / 연속혼합 (discrete / continuous mixture) — 혼합분포가 이산형이면 이산혼합, 연속형이면 연속혼합.
- 혼합 포아송 (mixed Poisson) — 포아송 평균 λ를 혼합한 분포. 감마 혼합 → 음이항, 역가우스 혼합 → 포아송–역가우스.
- 음이항분포 (negative binomial) — 포아송을 감마분포로 혼합해 얻는 대표적 과대산포 계수자료 모형.
- 퇴화분포 (degenerate distribution) — 확률이 한 점(여기서는 0)에 모두 몰린 분포.
- 무한분해가능 (infinitely divisible) — 분포를 임의 개수의 독립 동분포 합으로 나눌 수 있는 성질. 복합 포아송 표현의 전제.
- 파레토분포 (Pareto distribution) — 지수분포를 감마로 혼합해 얻는 두꺼운 꼬리 분포. 큰 손해 모형에 자주 쓰임.
- 취약성 모형 / 감소 고장률 (frailty model / decreasing failure rate) — 개체별 위험 차이를 곱셈 모수로 담는 모형. 모든 지수혼합은 고장률이 감소함.
한국보험시장 현황 Korea Market Practice
혼합분포는 한국 보험 계리에서 대수선 손해 모형과 피보험자 이질성(frailty) 모형의 핵심 구조로 쓰인다. 자동차보험·상해보험·의료보험에서 손해액 분포는 단일 파라메트릭 분포로 적합하기 어렵고, 경미 사고(저빈도·저심도)와 대형 사고(저빈도·고심도)가 혼재하는 두터운 꼬리 구조를 가진다. 이를 로그정규+파레토 혼합, 또는 지수+감마 혼합으로 모형화하면 CLT 근사가 빠르게 깨지는 꼬리 영역을 더 정확히 포착할 수 있다.
취약성(frailty) 모형은 혼합분포의 보험 응용 중 가장 학술적으로 발전한 분야다. 피보험자 개개인의 체질적 사망·질병 위험(frailty θ)이 관측되지 않을 때, 모집단 수준의 사망력은 관측 불가능한 θ에 대한 혼합으로 나타난다. 감마 분포를 혼합분포 U(θ)로 쓰면 결과적으로 음이항 사망 건수 분포가 도출된다. 이 구조는 제10회 경험생명표 이상 연령 사망률 추정과 장기간병(LTC) 발생률 모형에서 표본 이질성을 반영하는 데 활용된다.
IFRS17 위험조정(RA) 산출에서 혼합분포는 시나리오 집계의 기초이기도 하다. 복수의 보험리스크 시나리오(예: 악화 시나리오·기본 시나리오)를 확률 가중으로 혼합해 연간 손실 분포를 구성하는 접근은 이산혼합분포의 구조이며, 이를 통해 특정 신뢰수준의 분위수를 구하는 것이 RA 신뢰수준법의 수치적 절차다.
국내 자동차보험과 실손보험의 피보험자별 청구 건수는 이론적 포아송 분포보다 분산이 크게 나타나는 과산포(overdispersion) 현상이 흔하다. 이를 감마 혼합으로 설명하면 음이항 분포가 되며, GLM 요율 모형에서 반응변수 분포로 음이항을 채택하는 것이 이 현상을 수용하는 표준 방법이다. 혼합분포의 틀에서 보면 피보험자별 숨겨진 위험 성향(frailty)을 감마분포로 모형화한 결과가 음이항이므로, 요율 적합성 개선의 이론적 근거를 혼합분포가 제공한다.