혼합 포아송 분포 (Mixed Poisson Distributions)

1. 개요 Introduction

청구 건수를 모형화하는 자연스러운 방법 하나는 포아송의 혼합(mixture)이다. 위험모수 λ가 알려져 있으면 건수는 포아송을 따른다고 보되, λ 자체를 확률변수 Λ의 실현값으로 본다. Λ의 확률(밀도)함수를 u(λ)라 하면 건수의 무조건 확률은

같은 요율등급의 운전자들이라도 실제 사고율 λ는 사람마다 다르다(이질성). 보험자는 개별 λ를 관측할 수 없고 모집단 분포 u(λ)만 안다 — 이른바 모수 불확실성이며 베이즈 관점에서 u는 사전분포다.

2. 감마 혼합 = 음이항 분포 Gamma Mixing

Λ가 감마분포를 따르면 적분을 계산하여 다음을 얻는다. 즉 감마로 혼합한 포아송은 음이항 분포다.

이는 실무에서 관측되는 과대산포(분산>평균)를 자연스럽게 설명한다. 순수 포아송은 분산=평균이지만 혼합은 모수 변동만큼 분산을 키운다.

3. 확률생성함수 PGF

혼합 포아송의 확률생성함수(pgf)는 혼합분포의 적률생성함수 M로 깔끔하게 표현된다.

혼합분포는 유일하다(Douglas): 서로 다른 혼합분포가 같은 혼합 포아송을 낳지 않으므로 혼합분포를 식별할 수 있다.

4. 복합 포아송과의 관계 Link to Compound Poisson

혼합분포가 무한분해가능(infinitely divisible)이면 그 혼합 포아송은 복합 포아송으로도 표현된다.

여기서 ‘2차 분포’ P₂(z)가 pgf다. 이 동치성은 Panjer 점화식으로 확률을 수치 계산할 수 있게 해주어 실무에서 큰 이점이 된다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 혼합(mixture) — 모수를 확률변수로 두고 그 분포로 평균낸 분포.
• 과대산포 — 분산이 평균보다 큰 현상.
• 음이항 분포 — 감마-포아송 혼합으로 얻어지는 이산분포.
• pgf — 확률생성함수 P(z)=E[z^N].
• 무한분해가능 — 임의의 n에 대해 같은 종류 n개의 합으로 나눌 수 있는 분포.
• 복합 포아송 — 포아송 개수만큼의 2차 분포를 합한 분포.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

혼합 포아송은 같은 요율등급 안에서도 개인의 사고율이 다르다는 이질성을 반영한다. 감마로 혼합하면 음이항 분포가 되어, 한국 자동차·실손 빈도에서 흔히 관측되는 과대산포(분산>평균)를 자연스럽게 설명한다. 순수 포아송(분산=평균)의 한계를 보정하는 표준적 방법이다.

베이즈 관점에서 혼합분포 u(λ)는 사전분포에 해당하므로, bonus-malus와 경험요율(신뢰도이론)의 이론적 근거가 된다. 관측된 사고경험으로 개인의 λ 사후분포를 갱신해 보험료를 차등화하는 구조가 여기서 나온다.