확률변수

1. 직관적 정의 Introduction

직관적으로 확률변수(random variable, r.v.) X는 그 값이 우연(random factors)에 의해 결정되는 수다. 예를 들어 다가오는 새해의 유로/달러 환율, 또는 특정 달·특정 군(county)에서 일어나는 교통사고 건수가 그런 예다.

교통사고 예에서 그 달은 과거일 수도 미래일 수도 있다. 과거라면 X는 이미 완전히 알려진 값(예: X = 738)이며, 이때는 738을 확률변수라기보다 확률변수 X의 실현값(outcome)이라 부른다.

확률변수는 보통 위 예들처럼 실수값(X ∈ ℝ)을 가진다고 가정한다. 그러나 원칙적으로 다른 값들의 집합도 가능하다. 가장 대표적인 예가 다변량 확률변수 X = (X₁, …, X_d)(예: 1월 환율의 집합이면 d = 31)이며, 이는 뒤에서 자세히 다룬다. 확률변수는 확률론의 가장 근본적인 개념 중 하나로 모든 기초·중급 교재에서 다뤄진다.

2. 분포함수와 밀도 Distribution Function, Density

X가 실수값 확률변수일 때, 누적분포함수(c.d.f.) F_X는 실변수 x에 대해 "X가 x 이하일 확률"로 정의된다.

c.d.f.의 중요한 성질은 다음과 같다. 0 ≤ F_X(x) ≤ 1이고, x → −∞일 때 0, x → ∞일 때 1로 수렴하며, 비감소(nondecreasing)이고 오른쪽 연속(right continuous)이며 왼쪽 극한 F_X(x−) = P(X < x)를 가진다.

확률변수는 연속(c.d.f.가 연속)일 수도 이산일 수도 있다. 이산 확률변수의 c.d.f.는 점프로만 증가하며, 점프점 집합은 유한(예: 이항분포의 0, 1, …, n)하거나 가산(예: 포아송분포의 0, 1, …)이다. 이때 특성은 확률질량함수(p.m.f.) p_X(x) = P(X = x)로 요약된다. (절대)연속 확률변수는 다음을 만족하는 밀도함수(density) f_X의 존재로 정의된다.

이는 작은 h에 대해 P(x < X ≤ x + h)가 대략 f_X(x)h 크기임을 뜻한다. 한편 확률변수가 반드시 연속이거나 이산일 필요는 없다. 예컨대 보유한도 a인 초과손해 재보험(stop-loss)에서 한 해 보험사 총지급액 X는 0 ≤ X ≤ a이며, P(X = a) > 0(때로는 P(X = 0) > 0)이지만 (0, a) 위에는 밀도가 존재하는 혼합형이다.

연속 확률변수에 대해 위험률(hazard rate, failure rate)은 다음과 같이 정의되고, 거꾸로 c.d.f.를 위험률로부터 복원할 수 있다.

직관적으로 위험률은 조건부확률 P(x < X ≤ x + h | X > x)가 대략 λ_X(x)h임을 뜻한다.

3. 기댓값·분산·중앙값 Mean, Variance, Median

(실수) 확률변수 X의 평균(mean, 기댓값 expectation)은 다음과 같이 정의된다(왼쪽은 연속형, 오른쪽은 이산형).

이 개념이 중요한 핵심 이유는 큰 수의 법칙(law of large numbers)이다. X₁, X₂, …가 X와 같은 분포를 갖는 독립 확률변수이면, 큰 n에 대해 표본평균 (X₁ + … + X_n)/n은 E(X)에 가까워진다.

모든 확률변수가 기댓값을 갖는 것은 아니다. 정의의 적분이나 합이 무한대(예: α = 1인 파레토 확률변수)이거나 아예 정의되지 않을 수도(예: 코시 확률변수) 있다. 흔히 E(X)를 분포의 중심에 있는 수로 생각하지만, 다른 후보로 50% 분위수인 중앙값(median)과 밀도(또는 p.m.f.)가 최대가 되는 점인 최빈값(mode)이 있다.

X가 확률변수이면 함수 Y = g(X)도 확률변수이며 다음이 성립한다.

특히 g(x) = xⁿ으로 두면 n차 적률(moment) E(Xⁿ)을 얻는다(역시 존재하지 않을 수 있다). 분산(variance)과 표준편차(standard deviation)는 다음과 같다.

분산(또는 표준편차)은 평균 주위의 산포(dispersion) 척도로, 높은 확률로 X가 평균에서 표준편차의 몇 배 안에 있음을 뜻한다. 이를 정량적으로 보장하는 것이 체비셰프 부등식(Chebyshev inequality)이다.

평균과 분산은 확률변수의 큐뮬런트(cumulant) 수열의 처음 두 항이다. 특히 3차 큐뮬런트는 E[X − E(X)]³이며, E[X − E(X)]³/σ³은 분포의 왜도(skewness) 척도로 자주 쓰인다.

연속 확률변수의 α-분위수(quantile) z_α는 F_X(z_α) = α의 해다. 이때 P(z_α/2 < X < z_1−α/2) = α가 되어, 예컨대 α = 2.5%로 두면 (z_α/2, z_1−α/2) 구간을 "95% 확률로 X가 들어가는 전형적 범위"로 해석할 수 있다.

4. 변환(적률생성함수 등) Transforms

확률변수의 변환(transform)도 중요하다. 가장 대표적인 것이 적률생성함수(moment generating function, m.g.f.)다.

그 밖에 라플라스 변환과, 이산형의 경우 확률생성함수가 있다.

5. 다변량 확률변수 Multivariate Random Variables

ℝ^d값 확률변수 X = (X₁, …, X_d)(d차원 확률벡터)를 생각하자. 각 X_k는 1차원 확률변수이고 그 분포를 X의 k번째 주변분포(marginal distribution)라 한다. 주변분포는 결합분포에서 나머지 변수들을 적분(이산형은 합산)해 쉽게 얻는다.

확률벡터가 독립 성분을 가진다는 것은 결합확률이 주변확률의 곱으로 분해됨을 뜻한다. 즉 연속형이면 f_X1,…,Xd(x₁, …, x_d) = f_X1(x₁)·…·f_Xd(x_d)이다. 직관적으로 X₁, X₂가 독립이라는 것은 X₂의 결과를 알아도 X₁에 대한 정보를 전혀 얻지 못함을 뜻한다.

X₁과 X₂ 사이 의존성의 일변량 척도는 공분산(covariance)이다.

독립이면 공분산은 0이다(역은 일반적으로 성립하지 않으나, 다변량 정규분포 같은 특수한 경우엔 성립). 상관계수(correlation coefficient)는 다음과 같이 표준화한 값이다.

항상 −1 ≤ Corr(X₁, X₂) ≤ 1이며, 등호는 어떤 상수 a₁, a₂, b가 있어 확률 1로 a₁X₁ + a₂X₂ = b일 때(완전 선형관계)에만 성립한다. 의존성과 관련된 더 일반적인 개념으로 코퓰라(copula)가 있다.

6. 변환과 합성곱 Transformations and Convolutions

밀도의 변환에 관한 중요한 결과는 일대일(1–1) 변환 Y = g(X)의 밀도 f_Y를 다루는 야코비안(Jacobian) 공식이다.

여기서 J는 편미분 행렬의 행렬식(야코비안)이다. f_X(x) > 0인 곳에서 J ≠ 0이면 위 공식이 성립한다. 한편 독립인 X₁, X₂의 합 Y₁ = X₁ + X₂의 밀도는 더 간단히 합성곱(convolution) 공식으로 구한다.

(차 X₁ − X₂에 대해서도 비슷한 공식이 있다.)

7. 수렴과 엄밀한 정의 Convergence & Rigorous Definition

확률변수열 X_n → X의 수렴은 거의 확실(a.s.), 확률, 분포(약) 수렴 등 여러 의미를 가질 수 있으며, 이는 확률론에서 다룬다.

끝으로 더 엄밀한 정의를 정리한다. (Ω, ℱ, P)를 확률공간(확률장)이라 하자. 가장 넓은 의미의 확률변수는 (Ω, ℱ)에서 또 다른 가측공간 (Ω^*, ℱ^*)로 가는 가측사상(measurable mapping) X다. 각 ω ∈ Ω에 대해 X(ω)를 X의 실현값(outcome)이라 하고, 유도된 측도가 X의 (확률)분포다.

Ω^*가 ℝ 또는 ℝ^d이면 ℱ를 (모든 열린집합을 포함하는 최소 σ-체인) 보렐 σ-체로 잡으며, 이를 각각 실·다변량 확률변수라 부른다. ℝ 위의 임의의 확률측도는 다음과 같이 분해된다.

여기서 F^ac는 절대연속(밀도를 가짐), F^d는 이산, F^s는 특이(singular, 르베그 영집합에 집중되었지만 어느 한 점에도 양의 질량이 없음) 성분이다.

참고 및 관련 표제어

부록. 이 글에 나온 용어 (배경지식 보충)

• 확률변수 (random variable) — 표본공간의 각 결과에 실수(또는 벡터)를 대응시키는 가측함수. 값이 우연으로 결정되는 수.
• 누적분포함수 (c.d.f., F_X) — F_X(x) = P(X ≤ x). 비감소·오른쪽 연속이며 0에서 1로 증가.
• 밀도함수 (density, f_X)·확률질량함수 (p.m.f., p_X) — 연속형의 확률을 적분으로, 이산형의 확률을 점확률로 주는 함수.
• 위험률 (hazard rate) — f_X(x)/(1−F_X(x)). 지금까지 살아남았을 때 다음 순간 사건이 날 강도.
• 기댓값 (expectation, E(X)) — 분포의 중심을 나타내는 가중평균. 큰 수의 법칙에서 표본평균이 수렴하는 값.
• 적률 (moment) — E(Xⁿ). 1차 적률은 평균, 2차 중심적률은 분산.
• 분산·표준편차 (variance·standard deviation) — 평균 주위의 산포 척도. σ² = E(X²)−[E(X)]².
• 적률생성함수 (m.g.f.) — E(e^sX). 미분으로 적률을 생성하고, 독립합의 분포를 곱으로 다룬다.
• 공분산·상관계수 (covariance·correlation) — 두 변수의 선형 의존성 척도. 상관계수는 −1∼1로 표준화된 값.
• 합성곱 (convolution) — 독립 확률변수 합의 밀도를 구하는 적분 공식.

한국보험시장 현황 Korea Market Practice

확률변수는 보험 계리의 모든 리스크 수량화 과정에서 기본 언어로 기능한다. 국내 계리 실무에서 가장 자주 다루는 확률변수는 ① 손해액 X(양의 실수값, 두꺼운 꼬리 분포), ② 청구 건수 N(음이 아닌 정수값, 포아송·음이항), ③ 집합 손해 S = X₁+…+X_N(복합 확률변수), ④ 미래 수명 T(x)(양의 실수값, 생존함수로 표현)의 네 종류이며, 이들의 분포 적합·모수 추정·분위수 계산이 준비금·보험료·요구자본 산출의 중심 작업이다.

IFRS17에서 확률변수의 역할은 보다 명시적이다. 최선추정(BEL)은 미래 현금흐름 확률변수 CF_t의 기댓값 Σ E[CF_t]/(1+r_t)^t이며, 위험조정(RA)은 이 확률변수의 불확실성에 대한 보상이다. 계약서비스마진(CSM)은 미래 이익의 현가 확률변수가 영이 되도록 재조정하는 조정량이다. 따라서 IFRS17 모형의 수학적 핵은 복합 확률변수들의 결합분포 특성화이며, 이를 클로즈드폼으로 구할 수 없을 때 몬테카를로 시뮬레이션이 수치적 대안이 된다.

K-ICS 요구자본은 연간 손실 확률변수 L의 99.5% VaR—손실 분포의 상위 0.5% 분위수—로 정의된다. 여기서 L 자체가 리스크 모듈별 손실 확률변수들의 합이고, 합산 시 독립·상관 가정이 VaR 수치를 결정적으로 좌우한다. 확률변수의 합성 규칙(합성곱)과 상관 구조(공분산 행렬)가 K-ICS 표준모형 수식의 직접적 수학 기반이다.